Problema de cálculo integral: volumen de sólido.

Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región alrededor del eje x. Función

$$\begin{align}&y=raízcuadrada9x\end{align}$$

y de las rectas 

$$\begin{align}&x=1\end{align}$$

y x

$$\begin{align}&x=4\end{align}$$

.

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1

Fíjate que en este caso las rectas sirven es para determinar el intervalo para más nada. En este caso sería la integral de 1 a 4, ¿algún método en específico? ¿Cuáles te han enseñado?

Por método de discos.

Ok, voy a aprovechar para explicarte como funciona el método. Primero solo funciona Si lo que vamos a calcular es el volumen de un solido formado por la región entre una función y un eje coordenado, como es el caso. Ahora piensa que la función la estás girando con respecto al eje x. Creo que es claro que se traza un movimiento circular que forma un sólido. Si dividimos ese sólido  en muchos pedazos nos quedarían discos(cilindros) que tienen de volumen V=pi*r^2*h.

¿Ahora quién ese el radio? Es la distancia que va desde la función al eje cartesiano. Y si te das cuenta la distancia varía dependiendo de que punto tomes, en particular varía con respecto a la misma función. Por eso se dice que r=f(x). Y la altura es el grosor del disco, que tan grueso son los pedazos. Los hacemos de altura dx

Nos quedaría V=pi*f(x)^2dx. Y si ponemos todos esos cilindros y sumamos sus volumenes obtenemos el volumen del sólido. ¿Cómo sumamos? Con las integrales usando el intervalo necesario

$$\begin{align}&\pi\int_{a}^{b}f(x)^2dx\\&\pi\int_{1}^{4}(\sqrt{9x})^2dx=\\&\pi\int_{1}^{4}9xdx=\\&9 \pi\int_{1}^{4}xdx=\\&\frac{135 \pi}{2}\end{align}$$

Se que no pediste explicación pero creo que si uno le encuentra el sentido va a irle mejor que hacerlo mecánico. Suerte, y cualquier otra duda pregunta.

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