El conjunto {x^2+2x-1,x+3,x^2+3x+2} es base para el espacio vectorial P2

Álgebra lineal

El conjunto {x^2+2x-1,x+3,x^2+3x+2} es base para el espacio vectorial P2

Respuesta
1

Creo que sabes que se puede realizar una correspondencia entre P2 y R^3, ¿verdad?

Si crees lo anterior (en caso que no lo creas, acá tienes una página para corroborarlo), entonces como solo preguntan si son una base o no, nos quedamos con los coeficientes de los 3 elementos y vemos si son LI

x^2 + 2x - 1 = (1, 2, -1)

x+3 = (0, 1, 3)

x^2+3x+2 = (1, 3, 2)

Está página es muy mala para representar matrices, así que dejo la imagen

Vemos que el último vector es combinación lineal de los otros dos, por lo que no son LI y por lo tanto no son una base.

Salu2

Aclarando un poco más y volviendo a los polinomios, lo que digo es que el último lo podemos escribir como combinación lineal de los otros dos, o sea:

x^2+3x+2 = A(x^2+2x-1) + B(x+3) = Ax^2 + 2Ax - A + Bx + 3B

Como se debe cumplir la igualdad en cada término

1 = A

3 = 2A + B

2 = - A + 3B

Reemplazamos el valor de A en las otras ecuaciones

3 = 2 + B --> B = 1

2 = -1 + 3B --> B = 1

Efectivamente el último polinomio lo pudimos escribir como CL de los otros dos

Salu2

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