Anónimo
Encontrar dos números complejos dadas las condiciones
Hallar dos números complejos cuya suma tiene como parte imaginaria 5, el producto entre ambos es −5 + 5𝑖 y su diferencia da como resultado un imaginario puro.
Vamos a escribir dos números complejos
a+bi
c+Di donde a y c son la parte real y b y d son las partes imaginarias.
El ejercicio dice que la suma tiene como parge imaginaria 5, es decir,
b+d=5 (I)
Luego que su producto es -5+5i,
(a+bi)(c+di)=-5+5i, vamos a hacer la multiplicación
ac+adi+bci+bdi^2. i^2=-1 y unimos las partes reales , queda
(ac-bd)+(ad+bc)i=-5+5i. Para que la igualdad se cumpla la parte real debe ser igual en ambas partes, igual con la parte imaginaria. Osea.
ac-bd=-5 (II)
ad+bc=5 (III)
Y lo último es que la diferencia da un imaginario puro
a+bi-(c+di)=ei donde e es otro número, lo importante de esto es que la parte real debe ser cero, osea a-c=0 y por lo tanto a=c, El valor de e no nos importa, solo que a-c es cero.
De (III) sustituimos a=c, nos queda,
ad+ab=5, factor común a
a(d+b)=5, y de (II) sabemos el valor de b+d
5a=5
a=1, y como a=c=1, ya tenemos los valores de a y c.
De (I) despejamos
b=5-d y sustituyendo en (II)
ac-d(5-d)=-5
1-5d+d^2=-5
d^2-5d+6=0, nos da d=3 y d =2, puedes usar la resolvente.
b=5-d
b nos daría 2 y 3 respectivamente
Nos daría cuando d vale 3
a+bi=1+2i
c+di=1+3i
Y cuando vale 2
a+bi=1+3i
c+di=1+2i
Que son los mismos en este caso