¿Constante Lipszchiziana en problemas de Cauchy?

¿Cómo se puede calcular la constante lipszchiziana en un problema cualquiera de Cauchy?

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Espero poder ayudarte, ya que esto lo tengo un poco olvidado...

Generalmente, es complicado demostrar que la función es de Lipschitz a partir de la propia definición. Puedes utilizar algún resultado como "si existen las derivadas parciales respecto de la segunda variable y están acotadas, entonces la función es Lipschitziana".

Ejemplo de problema de Cauchy:

$$\begin{align}&x'(t) = t+x(t)\\&x(0) = 2\end{align}$$

Normalmente, te interesa que sea Lipschitz respecto de la segunda variable (por el teorema de Picard). La función del problema es

$$\begin{align}&F(t,x(t)) = t+x(t)\end{align}$$

Es Lipschitz respecto de y:

$$\begin{align}&|F(t,x_1)-F(tx_2)| =\\&= |t+x_1 -t-x_2 |=\\&=|x_1-x_2|\leq K |x_1-x_2|\end{align}$$

La constante de Lipschitz es K=1. 

Erratas:

  • Cambiar "Es Lipschitz respecto de y" por "Es Lipschitz respecto de x"
  • En la comprobación de Lipschitz falta una coma, sería F(t, x_2)

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