¿Son los números complejos la raíz cuadrada de los num negativos?
Una duda que se me plantea:
Si la raíz cuadrada de menos 1 es igual a j..., eso quiere decir que los números imaginarios positivos situados en el semieje vertical positivo estarían representando a la raíz cuadrada de todos los números negativos...
¿Pero entonces que representan los números imamginarios j en el semieje vertical negativo?
Representan al número entero –1 (negativo pues) "unido" (mediante la operación de multiplicar) a la raíz cuadrada de los números negativos, por ejemplo: –3i = –3√–1 = –√–9
Desde luego, Mario Rodríguez tiene razón, pero yo quisiera entonces añadir algo a lo que dice sobre la³√ de +1. Ya antes de que a un estudiante le hablen por primera vez de la forma trigonométrica de un número complejo, con las matemáticas que sabe un estudiante de estudios pre-medios (13 o 14 años de edad) podrá comprender lo que sigue.
Queremos hallar la³√ de +1. No sabemos su valor, es por eso que queremos hallarlo. Como no lo sabemos, lo llamamos x, será una incógnita a despejar:
³√ 1 = x
Si lo elevamos todo al cubo, la igualdad se mantiene:
1 = x³ Es decir:
x³ – 1 = 0 ............................................. ❶
Intuitivamente (sin cálculos) ya se ve que una raíz de esta ecuación es
x₁ = 1 porque 1³ = 1
Hemos escrito x₁ = 1 y no x = 1 porque, como pronto veremos, hay tres raíces. Y en efecto, como reza un conocido teorema, todo polinomio de grado n tiene n raíces, ni más ni menos. Y es obvio que x³ – 1 es el polinomio x³ + 0x² + 0x – 1.
Si dividimos x³ – 1 entre x – 1 obtendremos un trinomio de 2.º grado que tendrá que contener las dos raíces de x³ – 1 que faltan por hallar:
. .1. . . 0. . . 0. . .–1
. . . . . .1. . . 1. . . .1
1)-----------------------------
. .1. .. 1. . . .1. . .∟0
El polinomio de 2.º grado que decíamos es, pues,
x² + x + 1 = 0
cuyas raíces serán:
. . . . . . . . . .___________. . . . .. . (– 1 + i √3)/2 = x₂
. . . .– 1 ± √ 1² – 4•1•1. . . . . .↗
x = --------------------------------- =
. . . . . . . . . .2 • 1. . . . . . . . . . .↘ (– 1 – i √3)/2 = x₃
Si elevas al cubo el valor obtenido para x₂ verás que da 1. Lo mismo para x₃. Hay concordancia entre estos resultados y los de Mario: él los expresa en forma trigonométrica, y yo lo he hecho en lo que se llama forma binómica. Por cierto, la primera raíz también puede ser expresada en forma binómica:
x₁ = 1 + i 0
o también en forma trigonométrica:
x₁ = cos 0 + i sin 0
En fin, también se puede efectuar la³√ de –1 de la misma manera.
Mejor dicho:
El polinomio de 2.º grado que decíamos es, pues,
x² + x + 1
(sin el = 0)
Mejor dicho, x₂ & x₃ en forma binómica son:
x₂ = (– 1/2) + i (√3)2
x₃ = (– 1/2) – i (√3)2
No lo tenía mal matemáticamente, era solo una imprecisión en la nomenclatura.
3 respuestas más de otros expertos
No creo que sea difícil averiguar por la red sobre la historia de los números imaginarios (tiene algo que ver con Cardano, Euler [fue él que denominó a i como la raíz cuadrada de -1], Hamilton, etc)
Mejor dejo esta referencia: http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/revistapm/revista_impresa/numero_1/hamilton_y_el_descubrimiento_de_los_cuaterniones.pdf
En realidad se trataba de resolver esta ecuación:
$$\begin{align}&x^2+1=0\end{align}$$cuyas soluciones son
$$\begin{align}&x_1=-i\,,\,x_2=i\end{align}$$o mejor aun si queremos resolver esta ecuación
$$\begin{align}&x^2+a^2=0\end{align}$$Tenemos las soluciones...
$$\begin{align}&x_1=-|a|i\,,\, a_2=|a|i\end{align}$$donde a es un número real. Así pues tienes a los imaginarios positivos y a los imaginarios negativos.
Hay que aclarar que los números complejos son isomorfos a ℝ², tienen una estructura diferente a los números reales, no es un conjunto ordenado.
:)
Estás encarando este tema al revés de lo que es. O sea:
- Si yo te preguntara cual es la raíz cuadrada de 4 y me contestaras que es "2", tu respuesta NO sería completa pues la raíz cuadrada de cualquier número SIEMPRE tiene dos respuestas (+2 y -2, en este caso).
- Así las cosas, la raíz cuadrada del número real "-1" también tiene dos soluciones: +j y -j.
- Y volviendo a tu pregunta, digamos que tu afirmación: - "... la raíz cuadrada de menos 1 es igual a j ..." es incorrecta. Lo correcto es decirlo "al revés", o sea:
.) "+j" Es igual a la raíz cuadrada de -1, pero
.) "-j" También es igual a la raíz cuadra de -1.
¿Entendido?...
De paso te anticipo que descubrirás que "en el campo de los números complejos" la raíz cúbica de +1 (uno positivo) tiene tres soluciones:
a) 1
b) cos(2π/3) + j sen(2π/3)
c) cos(2π/3) - j sen(2π/3)
:)
:)
No... La raíz cuadrada de cualquier numero negativo son dos valores ( no uno) o sea riguramente:
V(-1) = + i y -i
V(-9) = + 3I y -3i
Y así para cualquier real negativo. Como veras están contenidos los dos valores conjugados en la solución.