Muestre que la función f(x)= {1 si x pertenece a Q (racionales), {0 si x no pertenece a Q, es discontinua en todo R (reales).

Comencemos por definir Continuidad en un punto:

1) Debe estar definida en el punto;

2) Debe tener límite en el entorno reducido de ese punto;

3) El valor en el punto y el límite deben ser iguales.

Con estas premisas analicemos tu caso:

1) En todos los puntos está definida (1 para los racionales, 0 para los irracionales): cumple la primera premisa;

2) Tiene límite en todos los puntos: en TODOS ellos vale 0, porque hacia cualquiera de los laterales de todos los racionales (donde valdrá 1), los números son irracionales (el límite siempre es =0): cumple la segunda premisa;

3) Aquí surge una controversia con tu afirmación de que es discontinua para TODOS los reales:

Realmente eso se da para todos los racionales (tienen como valor=1 y como límite =0,, por lo tanto hay discontinuidad (ej:  (4;1) está rodeado por (3.9; 0)  y por (4.1;0) );  sin embargo, esto no se da para los números irracionales, cuyo valor es 0 y su límite también tiende a 0 (ej:  (5;0) está rodeado por (4.9;0) y por (5.1;0) ).

Si tienes algún otro tipo de razonamiento que confirme tu consigna, me agradaría compartirlo.