Hallar la derivada direccional de...

Tienes f(x, y) = x^2 sin(2y) ... primero vas a hallar el vector gradiente de esta función... por definición:

grad f(x,  y) = d/dx ( f( xy)) i  +  d/dy( f(x,y)) j  = (2x sen 2y) i   +  (2x^2cos 2y) j  ....................que para el punto( 1, pi/2) estaria valiendo:

grad f( x, y) = (2 sen pi)  i + (2 cos pi )  j =  -2 j= -2.j

Siendo la direccion indicada = {3,   - 4} ...............su vector unitario ( versor) es  u = 1/5 ( 3 i - 4 j ) = 0.6 i - 0.8 j 

Derivada direccional en el punto dato = Gradiente f( x.y)  x  u =  { 0 ,  -2} x {0.6 ,   - 0.8} =  1.60.

;)

Hola Yani!
La derivada direccional según v, en P, se calcula con el producto escalar de un vector(u) unitario en la dirección de v y el gradiente en P

$$\begin{align}&\vec v=(3,-4)\\&\\&| \vec v|= \sqrt{ 3^2+4^2}=5\\&\\&\vec u= \frac 1 5(3,-4)=( \frac 3 5, - \frac 4 5)\\&\\&f(x,y)=x^2sin(2y)\\&\\&\vec {\nabla}f=(f_x,f_y)=(2x \sin(2y), 2x^2 \cos(2y))\\&P=(1, \frac  \pi 2)\\&\\&\vec {\nabla}f(P)=(2 \sin \pi , 2 \cos \pi)=(0,-2)\\&\\&D_uf= \vec {\nabla}f (P)· \vec u=(0,-2)·( \frac 3 5, - \frac 4 5)=0+ \frac 8 5= \frac 8 5\end{align}$$

Saludos

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;)