Integrales trigonométrica, como resolver el siguiente ejercicios.

∫ sen^3(4x)*dx;  CDV:  u=4x;  du=4dx;  dx=du/4;  reemplazo:

(1/4) ∫ sen^3 u*du; 

sen^3u= sen^2u*senu;  además:  sen^2u= 1 - cos^2u;  Reescribo:

(1/4) ∫ (1-cos^2u)*senu * du;  CDV:  s=cosu;  ds=-senu*du;  du=-ds/senu:

(-1/4) ∫ (1-s^2)*ds;  integro:

(-1/4) [s - (1/3)s^3] + C;  devuelvo última variable:

(-1/4) [cosu - (1/3)cos^3u] + C;   devuelvo primera variable:

(-1/4) [cos(4x) - (1/3)cos^3(4x)] + C;  que puedes escribir como:

###  [-cos(4x) /4] + [cos^3(4x)/12]  + C.

∫ sen(2x)*cos(4x) * dx;  CDV:  u=2x;  du=2dx;  dx=du/2;  reemplazo:

(1/2) ∫senu*cos(2u)*du;  

Cos(2u) = cos^2 u - sen^2 u;  o:  2cos^2 u - 1 (al reemplazar sen^2 con:  1-cos^2). Reescribo:

(1/2) ∫ senu*(2cos^2 u - 1)*du;  CDV:  s=cosu;  ds=-senu*du;  du=-ds/senu:

(-1/2) ∫ (2s^2 - 1)*ds;  integro:

(-1/2) * [(2/3)s^3 - s] + C;  devuelvo última variable:

(-1/2) * [(2/3)cos^3 u - cosu] + C;  devuelvo primera variable:

(-1/2) * [(2/3)cos^3 (2x) - cos(2x)] + C;  o:

### [(-1/3) cos^3 (2x)]  + [(1/2)cos(2x)] + C.

Si tu respuesta es correcta, debe existir:

[(-1/3) cos^3 (2x)]  + [(1/2)cos(2x)] + C= (1/4)cos(2x) - (1/12)cos6x + C.

Hagamos u=2x y simplifiquemos C:

[(-1/3) cos^3 u]  + [(1/2)cosu] = (1/4)cosu - (1/12)cos(3u);

Común denominador= 12:

(-4)cos^3 u + 6 cos u = 3cosu - cos(3u);  opero:

(-4)cos^3 u + 3 cos u = -cos(3u);  o:

4cos^3 u - 3 cos u = cos(3u);  

Por identidad trigonométrica:  cos(3u) = 4cos^3 u - 3cos u;  queda demostrado:  cos (3u) = cos (3u),  lo cual es correcto.

En definitiva, tu última respuesta es:   

### [(-1/3) cos^3 (2x)]  + [(1/2)cos(2x)] + C;  que también puede expresarse:

### (1/4)cos(2x) - (1/12)cos6x + C.

Buenas tardes profe noberto.

Nomas para que me aclare unas dudas, que representan las s  solas , ds y CDV.

Saludos.

(1/4) ∫ (1-cos^2u)*senu * du; 

CDV:   Cambio De Variable (donde llamo s a cos u):

s=cosu;  derivo a la nueva variable (s) para obtener ds y su relación con du:

ds=-senu*du; 

Despejo du:  du=-ds/senu.  

Ahora reemplazo a cosu por s y a du en: (1/4) ∫ (1-cos^2u)*senu * du;

(1/4) ∫ (1-cos^2u)*senu * (-ds/senu); pongo el signo a 1/4 y simplifico:

(-1/4) ∫ (1- s^2); integro de la forma habitual.

Luego, tendré que devolver las variables originales...