Algún ingeniero experto de ecuaciones diferenciales

;)
Hola Esteban Gonzalez!

$$\begin{align}&(y^3+yx^2)dx-x^3dy=0\\&\\&\text{trasponiendo términos:}\\&(y^3+yx^2)dx=x^3dy\\&\\&\frac{y^3+yx^2}{x^3}= \frac{dy}{dx}\\&\\&simplificando:\\&( \frac y x)^3+ \frac y x= \frac{dy}{dx}\\&\\&\text{cambio de variable}\\&u= \frac y x==> y=ux==> \frac{dy}{dx}= \frac{du}{dx}x+u\\&\\&u^3+u=\frac{du}{dx}x+u\\&separando\ variables:\\&u^3+u-u= \frac{du}{dx}x\\&\\&u^3= \frac{du}{dx}x\\&\\&\frac{dx} x=u^{-3} du\\&\\&integrando:\\&\int \frac{dx} x=\int u^{-3} du\\&ln|x|= \frac{u^{-2}}{-2}+C\\&\\&ln|x|=- \frac 1 {2u^2}+C\\&\\&ln|x|= - \frac 1 2 \frac{x^2}{y^2}+C\\&\\&Despejando \  y=\\&\\&ln|x|-C= \frac{-x^2}{2y^2}\\&\\&y^2=\frac{-x^2}{2(ln|x|-C)}\\&\\&y^2= \frac {x^2}{c-2ln|x|}\\&\\&y= \frac x{\sqrt {c-2ln|x|}}\end{align}$$

Luego  la B

Saludos

;)

;)

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;)

Respuesta correcta B.

Ahora paso a paso, como pone el testamento. Esto es una EDO homogénea, que no es separable pero que puede hacerse mediante el cambio de variables y = ux.

enunciado (y^3+x^2*y)dx - x^3 dy=0

dy/dx =(y^3+x^2*y)/(x^3) se ve obvio que es una función y/x

dy/dx = (y/x)^3+y/x

si derivamos el cambio de variables tenemos y=ux

dy/dx=x*du/dx+u*dx/dx = x*u'+u

sustituir sin complicaciones en la ecuación diferencial

x u' +u= u^3+u, por lo que u' = u^3/x

du/dx=u^3/x   reordenando

du/u^3=dx/x e integrando por partes de la forma más sencilla tenemos

-1/2v^2=lnx +c, ordenando

V =1/Raiz(c-2lnx) Ten en cuenta que una contante por un valor, sigue siendo una constante y aún no está determinada porque no tenemos las condiciones de contorno (o iniciales o un punto para calcularla) y con un simple deshacer cambio:

y = x/raiz (c-2lnx)

PD, se me puede haber colado la variable v que es la u. En el papel he usado la v, pero en el enunciado he visto que tienes u e intentado usarla u. pero si se ha colada una v... piensa que es la u