Determinar los valores a y b para que esta función en trozos sea continua en todo su dominio?

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Primero analizas cada una de las funciones dadas.

Para x<-3... la funcion que te dan x^3+3x^2-9x-27 / x+3 ... la dividis y te resulta exactamente = x^2-9 ... que tiene una raiz en ( -3, 0).

Para x> o igual a 3 .......la funcion que te dan x^2 - 22x + 57 / x-3 .....la dividis igualmente y te resulta exactamente = x-19 ....que es una recta que para x=3 valdra y= -16.

Ahora sabes que la funcion comprendida entre -3 y 3 ... que es de la forma ax^2 - 2bx + 1 ... será una parabola ... la cual debera pasar por los puntos (-3, 0) y (3, -16) de acuerdo a la condicion de continuidad que te piden.

Luego planteas las condiciones........9a - 6b + 1 = -16 ...para x= 3

y...........................................................9a + 6b + 1 = 0 ....para x= -3

Si resolves el sistema llegarias a las soluciones...............a= -1  y  b= 4/3

Luego la funcion parabolica que cumple la condicion de continuidad trozo entre (-3, 0 ) y ( 3, -16) sera: f(x) = -x^2 - 8/3x + 1 con lo que la funcion dada será continua entre -infinito < x < + infinito.

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