¿Cómo podría hallar un polinomio que se aproxime mucho a una función?

Lo que estás planteando está muy bien, lo que deberías recordar es que el error en el polinomio de Taylor viene dado por la expresión:

$$\begin{align}&R_n(f) = \frac{f^{(n+1)}(\psi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\\&Donde:\\&f^{(n+1)}: \text{es la derivada "enesima más 1" de la función}\\&\psi: \text{es un punto intermedio entre x y a}\\&a: \text{es el punto que seleccionaste}\end{align}$$

De esta forma, dependiendo la función tal vez puedas acotar el error y saber cuantos términos deberías despejar, por ejemplo si la función es seno o coseno, sabés que está acotada entre [-1,1] por lo tanto no te importa cuanto vale exactamente la función en es punto ya que pudes decir que:

$$\begin{align}&R_n(f) = \frac{f^{(n+1)}(\psi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\\&\text{Si f es seno o coseno...}\\&\bigg|\frac{f^{(n+1)}(\psi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\bigg| \le \frac{1}{(n+1)!}|(x-a)^{n+1}|\\&\text{Si además suponemos que (x-a) }\le \text{1, entonces podemos seguir acotando y tenemos además que}\\&\frac{1}{(n+1)!}|(x-a)^{n+1}|\le \frac{1}{(n+1)!}1^{n+1} = \frac{1}{(n+1)!}\end{align}$$

y en esa última expresión, te deberían dar el error esperado y a partir de ahí despejas n para saber cuantas derivadas son necesarias...

Salu2