Resuelve cada uno de los problemas de valor inicial, usando el método de la transformada de Laplace

y '' - 5 y ' + 4 y = e^(2t);  aplicamos la transformada a ambos lados:

L{y ''} - 5 L {y '} + 4 L{y} = L {e^2t};

s^2 L{y} - s*y(0) - y'(0) - 5 [sL{y} - y(0)] + 4 L{y} = 1 / (s-2);  

Ya no tengo derivadas;  reemplazo con los valores iniciales:

s^2 L{y} - s +1 - 5 [sL{y} - 1] + 4 L{y} = 1 / (s-2) 

s^2 L{y} - s +1 - 5sL{y} +5 + 4 L{y} = 1 / (s-2) 

(s^2 -5s +4) *L{y} - s + 6 = 1 / (s-2);

(s^2 -5s +4) *L{y} = [1 / (s-2)] + s - 6;  despejo L{y}:

L{y} = {1 / [(s-2)*(s^2 -5s +4)]} + [s/(s^2 -5s +4)]  - [6/(s^2 -5s +4)]; despejo y:

y=L^(-1){1 / [(s-2)*(s^2 -5s +4)]} + L^(-1)[s/(s^2 -5s +4)] - L^(-1)[6/(s^2 -5s +4)];

Como (s^2 -5s +4) es factorizable:  5+-√(25 - 16) / 2;  (5+-3)/2;  s=1; s=4:

Por espacio, hago las fracciones parciales de cada inversa por separado:

1°) 1 / [(s-2)*(s-1)*(s-4)] = A/(s-2) + B/(s-1) + C/(s-4);

1/[(s-2)*(s-1)*(s-4)] = [2)*(s-1)*(s-4)]

1 = A(s-1)(s-4) + B(s-2)(s-4) + C(s-2)(s-1);  doy valores a s:

1= A*1*(-2) + 0 B + 0C;   para s=2;  A=(-1/2);  

1 = 0A + B*(-1)(-3) + 0C;  para s=1;  B=(1/3);

1 = 0A + 0B + C*2*3;  para s=4;  C=1/6;

L^(-1) { (-1/2)* [1/(s-2)]  + (1/3)*[1/(s-1)] + (1/6)*[1/(s-4)]};

Como la Transformada inversa de 1/(s-a) = e^(at):

## (-1/2)e^2t + (1/3)e^t + (1/6)e^4t

2°)  s/[(s-1)(s-4)];  evitaré pasos intermedios:  

A/(s-1) + B/(s-4);   s= A(s-4) + B(s-1);

1 = A(-3)+0B;  para s=1;  A=(-1/3)

4= 0A +3B;  para s=4;  B=4/3;

(-1/3)[1/(s-1)] + (4/3)[1/(s-4)];  Transformada inversa:

## (-1/3)e^t + (4/3)e^4t;

3°) [6/(s^2 -5s +4)] o:  6/[(s-4)(s-1)];

6=A/(s-4) + B/(s-1);  6 = A(s-1) + B(s-4);

6=3A;  para s=4;  A=2;

6= -3B;  para s=1;  B=-2;

2*[1/(s-4)] - 2*[1/(s-1)];  Transformada inversa:

## 2e^4t - 2e^t;  

Todo junto ahora, con y(t);  y(0)=1;  y '(0) =(-1):

y(t) = (-1/2)e^2t + (1/3)e^t + (1/6)e^4t +(-1/3)e^t + (4/3)e^4t +2e^4t - 2e^t;

####  y(t) =(21/6)e^4t - (1/2)e^2t -2e^t

Luego intento el segundo.

Y''+y= t sent  ;       y(0)=1, y'(0)=2;   a la derecha, por propiedad de derivada.

s^2 L{y} - s*y(0) - y'(0) + L{y} = -F ' L{sent};

s^2 L{y} - s - 2 + L{y} = -F ' [1/(s^2+1)];

(s^2+1) L{y} - s - 2 = -  [2s/(s^2+1)^2];

(s^2+1) L{y} = s+2 -  [2s/(s^2+1)^2];

L{y} = [(s+2)/(s^2+1)]  -  [2s/(s^2+1)^3];

y = L^(-1) {[(s+2)/(s^2+1)]  -  [2s/(s^2+1)^3]);  

y = L^(-1) [(s+2)/(s^2+1)]  -   L^(-1) [2s/(s^2+1)^3]);  o:

y = L^(-1) [(s/(s^2+1)] + 2*L^(-1) [(1/(s^2+1)]   - 2*L^(-1) [s/(s^2+1)^3]);

Las dos primeras son directas:  cost + 2sent; 

La segunda es deducible de la propiedad de la derivada:  recordar:

a) L { t sent} =  F '[1/(s^2+1)] = (-1)^1 * (-2s)/(s^2+1)^2;  2s/(s^2+1)^2

b) L {t^2 cost} = (-1)^2 F '' [s/(s^2+1)] = 2s(s^2-3) / (s^2+1)^3;

Resto ambos:  [2s(s^2+1) - 2s(s^2-3)] / (s^2+1)^3;

2s*4 / (s^2+1)^3 = 8s / (s^2+1)^3;  

pero como tengo:  s/(s^2+1)^3;  divido ambos miembros por 8 y queda:

(1/8)* { L{t sent} - L{t^2cost}] = s/(s^2+1)^3;  FINALMENTE:

y = cost + 2sent - 2 (tsent - t^2cost);  o:

y = (2t^2 + 1) cost + 2(1-t)sent.