¿Cómo probar que z^6+4 no se puede descomponer como producto de dos polinomios de grado 3 con coeficientes reales?

;)
Hola fran sa!

Las raíces de ese polinomio son:

z

$$\begin{align}&z= \sqrt[6]{-4}= \sqrt[6]{4_{180º}}\\&\\&M= \sqrt[6]4\\&\\&\alpha=\frac{180º+2 k \pi}6\\&k=0==>30º==>M(cos30º+isen30º)=M( \frac{\sqrt 3} 2+ \frac 1 2  i)=z_1\\&\\&k=1==>90º ==>M(cos90º+isen90)=Mi=z_2\\&\\&k=2==> 150º==>M(cos150º+isen150º)=M(- \frac{ \sqrt 3} 2+ \frac 1 2 i)=z_3\\&\\&k=3==>210º==>M(cos210º+isen210º)=M(-\frac{ \sqrt 3} 2- \frac 1 2 i)=z_4\\&\\&k=4==> 270º==>M(cos270º+isen 270º)=M(0-i)=-Mi=z_5\\&\\&k=5==> 330º==>M(\cos 330º+isen 330º)=M( \frac{\sqrt 3} 2-\frac 1 2 i)=z_6\\&\\&factorización:\\&(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)(x-z_5)(x-z_6)\\&\\&\end{align}$$

Los complejos son conjugados dos a dos. El producto de dos paréntesis con complejos conjugados dan polinomios de grado 2 con coeficientes reales. Luego acabamos teniendo tres polinomios de grado2. I no podemos obtener dos polinomios de grado 3:

$$\begin{align}&(x-z_1)(x-z_6)=\Big[(x- M \frac {\sqrt 3} 2)- M \frac 1 2 i\Big]\Big[(x- M \frac {\sqrt 3} 2)+M \frac 1 2 i\Big]=\\&(x-M \frac { \sqrt 3} 2)^2-(M \frac 1 2 i)^2=(x-M \frac { \sqrt 3} 2)^2+M^2 \frac 1 4\\&\\&(x-z_3)(x-z_4)=\Big[(x+ M \frac {\sqrt 3} 2)- M \frac 1 2 i\Big]\Big[(x+M \frac {\sqrt 3} 2)+M \frac 1 2 i\Big]=\\&(x+M \frac { \sqrt 3} 2)^2-(M \frac 1 2 i)^2=(x+M \frac { \sqrt 3} 2)^2+M^2 \frac 1 4\\&\\&(x-z_2)(x-z_5)=(x-Mi)(x+Mi)=x^2-(Mi)^2=x^2-M^2i^2=x^2+M^2\end{align}$$

Saludos

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