Ecuaciones diferenciales. Resuelve el problema de valor inicial mostrando cada uno de los pasos

1. 2xy^3 + (3x^2y^2) dy/dx =0,       y(1)=1  EDO homogénea en 4° grado de homogeneidad; simplificable al dividir ambos miembros por xy^2:

2y + (3x) dy/dx =0,  que se ha convertido en en una ED de variables separables:

2y = (-3x) (dy/dx);

2ydx = -3xdy;

2dx/x = -3dy/y; integro:

2ln|x| = (-3)ln|y| + C;  pero si hago C=lnA, que también es una constante:

ln|x^2| = ln|y^(-3)| + lnA;

ln|x^2| = ln|A*y^(-3)|

x^2 = A*y^(-3);  x^2= A/(y^3);  y^3 = A/(x^2);

y = ∛[A/(x^2)];  doy valor inicial:

1 = ∛A/1^2;   A=1;

###   y = x^(-2/3)

3xy+y^2+ (x^2+xy) dy/dx=0,        y(2)=1;  

Supongo que hay un error: t=x (por error de tipeo); si no fuera así, por favor indícalo y lo corregiré.

EDO homegénea en segundo grado de homogeneidad (esta vez, no simplificable).

(x^2+xy) dy = (-3xy+y^2)dx;   x/y=u;  x=uy;  dx=ydu + udy;

(u^2y^2 + uy^2) dy = - (3uy^2 + y^2) (ydu + udy);  simplifico por y^2:

(u^2 + u) dy = - (3u + 1) (ydu + udy);

(u^2 + u) dy = - (3uydu + ydu + 3u^2dy + udy);

(u^2 + u+3u^2+u) dy = - y(3u + 1)du;

- dy/y = [(3u+1) / (4u^2+2u)]du;

- dy/y = [(3u+1) / 2u(2u+1)] du;

- dy/y = {[3u/2u(2u+1)] + [1/2u(2u+1)]} du;

- dy/y = {[3/2(2u+1)] + [1/2u(2u+1)]} du; integremos separando en tres partes:

a)  -dy/y = -ln|y|

b) (3/2) du/(2u+1);  CDV:  s=2u+1;  ds=2du;  du=ds/2;  

     (3/4) ds/s;  (3/4) ln|s|;  devuelvo variable:

     (3/4) ln|2u+1|;

c)  [1/2u(2u+1)]du;  por fracciones parciales:

1/2u(2u+1) = A/2u + B/(2u+1);  sumo y simplifico denominadores:

1 = A(2u+1) + B2u

1= 1A + 0;   para u=0;  A=1;

1=3A + 2B;  u=1;  A=1:  -2=2B;  B=(-1);  queda:

du/2u - du/(2u+1);  integro:

(1/2) ln|u| - (1/2) ln|2u+1| + C;  si hago C=lnZ: y pongo todo junto:

-ln|y| = (3/4)ln |2u+1| + (1/2)ln|u| - (1/2)ln|2u+1| + ln|Z|;

-ln|y| = (1/4)ln |2u+1| + (1/2)ln|u| + ln|Z|;

-ln|y| = ln |(2u+1)^(1/4)| + ln|u^(1/2)| + ln|Z|;

ln|y^(-1)| = ln |Z*(2u+1)^(1/4)| * u^(1/2)|;

1/y = Z*(2u+1)^(1/4)| * u^(1/2);  Como u=y/x, devuelvo variable:

y= 1/ { Z* [2(y/x) + 1] ^(1/4) * (y/x)^(1/2)]};  Como y(2)=1;

1 = 1 / {Z* [2(1/2) + 1] ^(1/4) * (1/2)^(1/2)];

1 = 1 / {Z* [2] ^(1/4) * (1/2)^(1/2)];  elevo a la 4°:

1 = 1 / [Z * 2 * (1/4)];

1 = 1 / (Z/2);  1 = 2/Z;  Z=2;

###  y= 1/ { 2* [2(y/x) + 1] ^(1/4) * (y/x)^(1/2)]}