Cómo se resuelve la siguiente ecuación diferencial?
$$\begin{align}&dy/dx = 1 + y/x - (y/x)^2\end{align}$$No se por qué método hacerla o cómo hacerla. Intenté sustituyendo u=y/x, sin embargo creo que no seguí los pasos como debía pues me da un resultado diferente al que es.
2 respuestas
Hacemos el cambio z= y/x. Ponemos la edo en funcion de z y x. Por tanto;
z' = (y' * x - y)/(x^2)
Sustituimos en esta expresión y' por 1+z - z^2 y la y por z*x. Simplificamos y entonces;
z' =( (1+z-z^2)*x -x*z )/ x^2
Si seguimos simplificando, llegamos a variables separadas;
z' = dz/dx = (1-z^2)/x
Esta es muy fácil de resolver por no decir trivial. Al final deshaces el cambio. Donde veas z pones y/x.
No entiendo de donde sale el z' = (y' * x - y)/X^2
Si sustituyendo z=y/x y el diferencial dz debería quedar, segun lo que se,
(dzx + zdx)/dx = 1+ z + z^2
Lo que tengo entendido es que uno no puede cambiar el diferencial así como así sino que hay que despejar bien sea el dy o el dx en término de la nueva variable, en este caso dz. Agradezco su respuesta
Nosotros tenemos una edo con variable independiente x y variable dependiente y.
Con el cambio de variable z=y/x, vamos poner la edo en función de la nueva variable dependiente z y la independiente x. El proceso siempre es el mismo. Comenzamos con el cambio z= y/x. Ahora derivamos z con respecto a x. Entonces es la derivada de un cociente. Por eso sale z' = (y'*x-y*1)/x^2.
Hay que tener en cuenta que la derivada de z con respecto a x es z' y la derivada de x con respecto a x es 1. A partir de esta expresión y sustituyendo y' por 1+z-z^2 e y por z*x y simplificando llegamos al resultado que antes te puse en el primer comentario.
Una vez que tenemos variables separadas se resuelve como tal.
Hay más formas de hacerlo pero yo en. La. Facultad de matemáticas me enseñaron este método y es el que enseño.
Un saludo
Si no sabes hacer la parte de variables separadas avisa y te la hago.
dy/dx=1+ (y/x) − (y/x)^2
u=y/x; y=ux; dy = dux+dxu; reemplazo:
(dux + dxu) / dx = 1+ u – u^2;
x (du/dx) + u = 1+ u – u^2; simplifico u:
x(du/dx) = (1 – u^2);
du/(1-u^2) = dx/x; A la izquierda, fracciones parciales:
1 / [(1+u)(1-u)] = A/(1+u) + B/(1-u);
1 / [(1+u)(1-u)] = [A(1-u) + B(1+u)] / [(1+u)(1-u)]; simplifico:
1 = A(1-u) + B(1+u); doy valores a u:
1 = 0A + 2B; para u=1; Obtengo: B=1/2;
1= -2A – 0B; para u=(-1); Obtengo: A= (-1/2);
(-1/2) [du/(1+u) -du/(1-u)] = dx/x;
Observa que he sacado factor común (-1/2), por lo que queda A=1; B=(-1).
Luego paso (-2) multiplicando a la derecha:
du/(1+u) -du/(1-u) = (-2) dx/x; integro:
ln|1+u| + ln|1-u| = (-2) ln |x|| + C;
Hacemos C=lnA, que también es una constante:
ln|1+u| + ln|1-u| = (-2) ln |x|| + ln|A|;
ln| (1+u|)(1-u)| = ln |A* [x^(-2|)]; o:
ln| (1+u|)(1-u) | = ln |A*/(x^2)|; simplifico:
(1-u^2) = A/x^2; devuelvo variable:
1 – (x/y)^2 = A /x^2; que podemos dejar así o:
1 – A/x^2 = x^2 / y^2;
y^2 = x^2 / (1 –Ax^2);
y = x / +-√(1-Ax^2);
Que creo que es la mejor forma de expresarla, con y despejada.