¿Que tan exacto debemos de medir la altura de un vaso de agua para estar seguros de tener 1/2?

1 vaso de un medio litro (500cm^3) tiene forma cilíndrica de radio interior de 4cm.
¿Que tan exacto debemos medir la altura h del en el baso para estar seguros de tener 1/2 litro de agua, con un error menor de 1% (error menor de 5cm^3).?

Y como se representa gráficamente

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Hay dos formas de resolverlo, una por ecuaciones diferenciales y otra por cálculos 'exactos', yo lo voy a resolver de este último modo.

$$\begin{align}&V = \pi r^2h\\&5 = \pi 2^2h \\&h = \frac{5}{4 \pi} \text{ (esta es la variación que puede tener la medida, lo dejo expresado en función de }\pi \text{ para no agregar error al método)}\\&\text{La altura para el volumen 'exacto' es}\\&500 = \pi 2^2h \\&h = \frac{500}{4 \pi}\\&\text{Por lo tanto, para estar seguros de tener 1/2 litro de agua, la altura debe ser}\\&h = \frac{500}{4 \pi} \pm \frac{5}{4 \pi}\end{align}$$

Salu2

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Gustavo ha calculado la altura para un vaso de 2cm de radio. Albert buscapolos lo ha hecho correctamente, además los cálculos de Gustavo dan unos 40cm de altura un vaso de 8cm de diámetro y 40 cm de alto cabrían casi dos litros de agua. Es más lógico un vaso de 8 cm de diámetro por 9,95cm de alto. Si fuera un cubo de 10cm por 10cm por 10cm seria un litro. En este caso seria uno de 8cm por 8cm por 9,95cm (y recortando partes del cubo)

Pero Albert buscapolos ha calculado mal el error de altura, tanto si calculo 5/16π =0, 01cm como si calculo el 1% de 9,95cm me da un error máximo de 0,01 cm (bueno siendo puristas 0,0994716).

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Volumen del agua = pi. radio^2 . h ...........................(delta volumen) /V = 3.14 x 16 x ( delta h)/h

De acuerdo a tu dato:.......(delta v/v) = 0.01 = 50.24 x ( delta h)/h .................con 

h = altura teorica para llegar a 1/2 litro = 500 / 3.14 x 16 = 9.95222 cm.

Luego (delta h) = 0.01 x 9.952 / 50.24 = 2 x 10^-3 cm.

A mi me daria Altura h = 9.952 +/- 0.002 cm.

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Interpreto que el Volumen total (500 cc) está contenido en un recipiente cilíndrico de 4 cm de radio interior. El error admisible es el 1% del volumen, medido mediante la altura (h).

Cálculo exacto:

V=πr^2*h;  

500 cm^3 = π * (4cm)^2 * h;

h= (500 cm^3/16cm^2)/π;  simplifico unidades y queda en cm:

h= (125/4π) cm; o: 9.947184 cm;

La variación de la altura, para mantenerse dentro del +-1% es:

h*(+- 1.01);  esto es porque:

h=100%

1% h = h/100;  o:  0.01h;

h(máx) = (125/4π)cm *1.01;  o: (125+1.25)/4π cm; o: (12625/400π) cm; o:

(505/16π) cm; o:  10.04665 cm;

h(mín) = (125/4π) cm * 0.99; o:  9.847712 cm.

Veamos ahora la resolución por Aproximación diferencial.

V=πr^2h;

V=(16cm^2)πh;  derivo ambos lados respecto a h:

dV/dh = 16cm^2*π;  

dV= 16cm^2*π*dh;  

dh= dV/16cm^2*π;

Como dV = 0.01*V;  dh= (0.01*500 cm^3) / (16cm^2*π);  simplifico unidades y queda en cm: 

dh= (5/16π)cm;  o:  0.0994718 cm

Se me ha deslizado un error que no influye en el resultado final.

Cuando dice:  "h*(+- 1.01);  esto es porque:"

Debería decir:  "h*(1+-0.01);  esto es porque:"

Lo que sigue está correcto, porque multiplica por 1.01 y 0.99 respectivamente.

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