¿Como saber si la integral impropia es convergente o divergente?

∫ (de -1 a 2) x^2dx / √(x^3 +1);

Vemos que la función está definida para todo x>(-1): de lo contrario, en x=(-1) queda una indefinición 1/0 y para valores de x menores a (-1) queda la raíz cuadrada de un número negativo (obligaría a trabajar en Complejos).

Si tomamos límite por derecha para x-> (-1) de: x^2 / √(x^3 +1),

Queda: 1/0; con lo que el límite tiende a +∞.

Sin embargo puede resolverse esta integral mediante una serie de sustituciones:

CDV:  u=x^3 + 1;  du=3x^2*dx;  dx= du/3x^2;

Además:  Para x=(-1):  u=0;  Para x=2:  u=9;  reemplazo dx:

∫ (de 0 a 9) [x^2 / √(x^3+1)]* (du/3x^2);  simplifico:

∫ (de 0 a 9) (1/3) * du/ √u;

CDV:  s=√u;  ds=du/2√u; o lo que es igual:  ds=du/2s;  du=2s*ds;

Además:  Para u=0:  s=0;  Para u=9:  s=3;  reemplazo:

∫ (de 0 a 3) (2/3) sds/s;  simplificando:

∫ (de 0 a 3) (2/3) ds;  integro:

Indefinida:  (2/3) s + C; 

Para s=3:  2;

Para s=0:  0;  Resto:  2-0=2;

Tu área vale 2 Unidades^2.

. :)

Este ejercicio es similar (y más simple) que el que te resolví anteriormente.

Daría -entonces- la sensación que no deseas aprender sino que te hagamos los deberes...

En este caso aplica la siguiente sustitución:

u = x³ + 1

¿Puedes "arancar" con esta ayuda?... ¿Hasta dónde has llegado?...

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