Demuestra que n^3-n es múltiplo de 6 para toda n∈N

Muy bien, pues veamos...

Lo primero que hay que probar es P(1)

P(1): 1^3 - 1 = 0. Como cero es múltiplo de 6, vale!

Ahora veamos si P(n) -> P(n+1), o sea que sí

n^3 - n es múltiplo de 6, entonces...(n+1)^3-(n+1) es múltiplo de 6

Partamos de la segunda expresión

(n+1)^3 - (n+1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - (n+1) = n^3 + 3n^2 + 2n = sumo y resto "n"

= n^3 + 3n^2 + 3n - n = n^3 - n + 3n^2 + 3n = de acá sabemos (por hipotesis) que n^3-n es múltiplo de 6, para que todo sea múltiplo de 6, tenemos que demostrar que 3n^2+3n también lo es

3n^2 + 3n = 3 (n^2+n) = sabemos que para que un número sea múltiplo de 6, entonces debe ser múltiplo de 2 y 3 simultáneamente, por la expresión vemos que es múltiplo de 3, así que ahora queda demostrar que n^2 + n es múltiplo de 2...sigamos

n^2 + n = n * (n+1)

Y se acabó, porque n*(n+1) es el producto de dos números consecutivos, lo cual asegura que uno de ellos es par (y por lo tanto es múltiplo de 2)

Salu2