Tengo un problema de trigonometria fundamental
Si sec x + tan x = 1/2
Hallar E = (sec x - tan x)^2
Muy agradecido por la ayuda
Respuesta de Lucas m
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;)
Hola Cesar!
Demostraré primero que la suma de la secante y la tangente es inversa a su diferencia:
$$\begin{align}&\frac 1{secx-tanx}=secx+tanx\\&\\&demostracion\\&\text{necesitamos la identidad}:\\&sec^2x=1+tan^2x\\&\text{que sale de }\\&sen^2x+\cos^2x=1\\&=>\\&\frac {sen^2x+\cos^2x}{\cos^2x}=\frac 1 {\cos^2x}\\&\\&=>\\&\frac{sen^2x}{\cos^2x}+ \frac{\cos^2x}{\cos^2x}=\frac 1 {\cos^2x}\\&=>\\&tan^2x+1=sec^2x\\&\\&Ahora:\\&\frac 1 {secx-tanx}=\frac 1 {secx-tanx}· \frac{secx+tanx}{secx+tanx}=\frac{secx+tanx}{sec^2x-tan^2x}=\\&\\&=\frac{secx+tanx}{(1+tan^2x)-tan^2x}=secx+tanx\\&\\&\\&==>\\&\frac 1 {secx+tanx}=2=secx-tanx\\&\\&==>\\&(secx-tanx)^2=4=E\end{align}$$Saludos
;)
;)
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1
Veamos...
$$\begin{align}&sec x + tanx = \frac{1}{2}\\&(sec x + tanx)^2 = (\frac{1}{2})^2\\&sec^2 x+ 2secx \ tanx + tanx^2 = \frac{1}{4}\\&sec^2 x+ tanx^2 = \frac{1}{4} - 2secx \ tanx \text{............................(a)}\\&(sec x - tan x)^2 = sec^2x-2sec x \ tan x + tan^2 x \text{........(b)}\\&\text{Remplazando (a) en (b)}\\&sec^2x-2sec x \ tan x + tan^2 x=-2sec x \ tan x +\frac{1}{4}- 2secx \ tanx=\frac{1}{4}- 4secx \ tanx\end{align}$$y no pude seguir avanzando...lo dejo hasta ahí por si le sirve a otro (o a ti mismo) para avanzar
Salu2