Como hallar los puntos de tangencia si conozco el valor de la pendiente

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Hola Sophia!

La pendiente de la recta tangente es la derivada.

Derivemos

A) Derivación implícita:

$$\begin{align}&x^2+2y^2=12\\&2x+4yy'=0\\&\\&y'=- \frac {2x}{4y}=- \frac x {2y}\\&\\&y'=- \frac 1 2\\&\\&igualando\\&\\&- \frac x {2y}=- \frac 1 2\ ==>-2x=-2y\ ==> x=y\\&el \punto \ de \ tangenc ia\ \también \ es \ de \ la \ curva,\ luego \ cumple\\&x^2+2y^2=12\\&x^2+2x^2=12\\&3x^2=12\\&x^2=4\\&x= \pm2\ ==>(2,2) \ \ i \ \ (-2,-2)\end{align}$$

B)

La raíz cuadrada se puede derivar como una potencia, pero es conveniente memorizar su derivada que en forma de radical es:

$$\begin{align}&D (\sqrt x)= \frac 1 { 2 \sqrt x}\\&\\&D( \sqrt {u(x)})= \frac {1}{2 \sqrt {u(x)}}·u'\\&\\&f(x)= \sqrt {3x-2}\\&\\&f'(x)= \frac 1 {2 \sqrt {3x-2}}·3\\&\\&\frac 3{2 \sqrt {3x-2}}= \frac 3 8\\&\\&8=2 \sqrt{3x-2}\\&\\&4= \sqrt{3x-2}\\&\\&4^2=3x-2\\&\\&3x=18\\&x=6\\&==> \\&y=\sqrt {3x-2}=\sqrt {3·6-2}=\sqrt{14}\\&punto:(6, \sqrt {14})\end{align}$$

saludos

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de acuerdo Lucas, muchas gracias

Lucas, por que igualas la derivada con la pendiente?

Porque las derivadas sirven para calcular pendientes de rectas tangentes.

Hay dos tipos de problemas:

1) te dan el punto ==> calculas la pendiente de la recta tangente sustituyendo el punto en la derivada

2)Te dan la pendiente de la recta tangente ==> calculas el punto de tangencia igualando la derivada a esa pendiente.

En la teoría se explica que es la derivada y para que sirve.

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igualas por definition donde y'=m, verdad? despise de hacer este proceso que valor despejas?

despues*

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Si la función está en explicita y=f(x)

La derivada y'=f'(x) también está en función de x con lo cual al igualarla a la pendiente solo tendrás la x para despejar. Es la x del punto de tangencia, pero el punto tiene(x, y)

La y la obtendrás de la ecuación de la función y= f(x).

Como el ejercicio 2)

Si la curva está en forma implícita, la derivada te queda en función de x e y. Al igualarla a la pendiente te queda una ecuación con dos incógnitas (x, y). Como en el otro caso necesitas la ecuación implícita de la curva, con esas dos ecuaciones calculas el punto o puntos de tangencia.

Como el ejercicio 1

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Ya entendí la B Lucas

$$\begin{align}&y=\sqrt{3x-2} \ \  \ \ \ m={3\over8}\\&\\&y'=m\\&y'={3\over2 \sqrt{3x-2}}\\&\\&{3\over2 \sqrt{3x-2}}={3\over8}\\&\\&{8\over2 \sqrt{3x-2}}={3\over3}\\&\\&{8\over2 \sqrt{3x-2}}={1}\\&\\&8=2\sqrt{3x-2}\\&\\&{8\over2}=\sqrt{3x-2}\\&\\&4=\sqrt{3x-2}\\&4^2=3x-2\\&\\&16+2=3x\\&18=3x\\&{18\over3}=x\\&6=x\\&\\&y=\sqrt{3x-2} \ \  \ \ \ \\&\\&y=\sqrt{3(6)-2} \ \  \ \ \ \\&y=\sqrt{18-2}\\&y=\sqrt{16}\\&y=4\\&\\&punto \ tangencia=(6,4)\end{align}$$

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Correcto y bien corregido

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Lucas, los temas de punto de inflexión, valores extremos, ángulos, integrales, ¿esos temas no son tan complicados? Solo tengo una semana para terminar de estudiar :(, ya el próximo viernes debo presentar el examen 8'C