Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping.
Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m.
Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m.
Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m.
2 Respuestas
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¡Hola Grismaldo!
Mejor llamaré y(t) a la función, siendo un movimiento vertical es lo más apropiado llamarla así
Sobre la persona actúan dos fuerzas, la de la gravedad y la fuerza elástica de la goma, de la resultante de ambas fuerzas tendremos la masa por la aceleración.
La fuerza elástica es:
Fe = -ky = -350y N
La de la gravedad
Fg = mg = -70kg · 9.81m/s^2 = -686.7 N
Fe+Fg = ma
La aceleración es la derivada segunda de y, luego:
$$\begin{align}&-350y - 686.7= 75· y''\\&\\&75y'' + 350y=-686.7\\&\\&y'' + \frac {350y}{75} = -\frac{686.7}{75}\\&\\&y''+4.\hat 6 y= - 9.156\\&\\&\text{Las soluciones de la ecuación caracterísca son}\\&k^2+4.\hat 6=0\\&k^2 = -4.\hat 6\\&k=\pm\sqrt{4.\hat 6}\;i\\&k=\pm2.1602469 i\\&\\&\text{La solución general de la ecuación diferencial homogénea es}\\&\\&y_G(t) = C_1\,\cos(2.1602469\,t)+C_2\,sen(2.1602469\,t)\\&\\&\text{La solución particular será de la forma}\\&\\&y_P(t)=A\\&\\&0 + 4.\hat 6A= - 9.156\\&\\&A= \frac{-9.156}{4.\hat 6}=-1.962\\&\\&\text{Luego la solución general de la completa es}\\&\\&y(t)= C_1\,\cos(2.1602469\,t)+C_2\,sen(2.1602469\,t)-1.962\\&\\&\text{Las condiciones iniciales son}\\&y(0)=-8\\&C_1-1.962 = -8\\&C_1=-6.038\\&\\&y'(0)=30\\&2.1602469\; C_2=30\\&C_2=13.8873015\\&\\&\text{Luego la solución es}\\&\\&y(t) = -6.038\,\cos(2.1602469\,t)+13.8873015 sen(2.1602469\,t)-1.962\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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¿No te dan la longitud de la cuerda sin carga?... ¿Qué quiere significar" la banda elástica ha cedido 8 metros"?
Buen Día, muchas gracias por tu respuesta me sirvió demasiado ahora mi profesor me comenta esto tiene detalles que corregir, por ejemplo no es necesario el valor -1.962, traten de aproximarla a : x(t) = 8cos(2.2t) - 13.4sen(2.2t), es decir cambien los signos y revise el 6.03.tiene detalles que corregir, por ejemplo no es necesario el valor -1.962, traten de aproximarla a : x(t) = 8cos(2.2t) - 13.4sen(2.2t), es decir cambien los signos y revise el 6.03. Te agradezco si me ayudas con las correcciones, Gracias! - Maira Alejandra Cerquera