Aproxima el cambio en la concentración de CO2 en los mares de 1980 a 1983.

Concentración de CO2 en una función

Actividad integradora

Concentración de CO2 en una función

Para realizar esta actividad es necesario que hayas revisado el tema 1, “Diferencial”, de la unidad 2, ahí encontrarás los referentes teóricos que te permitirán realizar esta actividad.

¿Qué producto entregarás?

Un documento donde presentes el planteamiento, solución y respuesta argumentada a la pregunta planteada.

¿Qué hacer?

1. Lee con detenimiento la siguiente situación:

El cambio climático es un fenómeno con efectos sobre el clima, está asociado a la intervención humana por la producción y acumulación de gases de efecto invernadero, como el CO2, en la atmosfera.

El observatorio del volcán Mauna Loa, en Hawái, se dedica al monitoreo de la concentración de CO2 sobre la superficie de los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base en un proceso estadístico, similar al que se revisó en el Módulo 17, fue posible establecer un modelo matemático que aproxima la concentración del CO2, por año.

A continuación se muestra una gráfica de los datos obtenidos por este centro de monitoreo1 del promedio anual de CO2 sobre la superficie del mar, para más información puedes consultar la página del observatorio directamente.

Para pensar esta función de crecimiento se considera el año 1980 como el inicio de la medición de tiempo, es decir, se toma como t = 0, a partir de este punto comienza a avanzar la variable temporal, por último se ajustan las escalas para que los ejes tengan el mismo tamaño entre cada valor, esto, porque es la forma más común de trabajarlo, de manera que la gráfica resultante es:

Usando herramientas de Excel se ha generado un ajuste exponencial (en el Módulo 17 de Estadística se trabajaron ajustes lineales), dado por:

Para comprender mejor los elementos de esta función puedes apoyarte del video:https://www.youtube.com/watch?v=zcs6JXHZQtI

f(t)=337.09e0.0047x

MATEMATICAS

La gráfica de este ajuste se presenta en la siguiente figura:

2. Ahora analiza haciendo uso del modelo exponencial propuesto como la función que define la concentración de CO2 y aplicando diferenciales. Luego debes aplicar y solucionar lo siguiente:

a) Aproxima el cambio en la concentración de CO2 en los mares de 1980 a 1983.

Utiliza la diferencial de una función para encontrar el cambio de o a 1:

b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica del ajuste exponencial, es decir, a f(x)=337.09e0.0047x, en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO2 en t = 1.

c) Compara tu resultado con lo obtenido en el inciso anterior, respondes ¿qué conclusiones puedes generar al observar estas mediciones?

1 Respuesta

Respuesta
8

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¡Hola MACLOVIO!

Esa pregunta ya la contesté aquí: Concentración CO2 viejo

Pero me parece que han cambiado parte del enunciado, voy a resolver el problema actual.

Hace almorzar bien para leer un ejercicio de estos. El caso es que hay mucha teoría pero la resolución es sencilla:

2)

a) Nótese como han cambiado parte del enunciado pero no todo el que debían, tendrían que haber dicho: "Utiliza la diferencial de una función para encontrar el cambio de o a 3". En el apartado b) también tenían que decir en t=3.

Ya nos dan la fórmula a usar para calcular la aproximación

$$\begin{align}&f(x+\Delta x) = f(x) + f'(x)·\Delta x\\&\\&\text{El cambio es }\\&\\&\Delta f(x) = f(x+\Delta x) - f(x) =  f'(x)·\Delta x\\&\\&\text{Nos piden el cambio de 1980 a 1983} \\&\\&\text{1980 es el año que corresponde a x=0}\\&\text{1983 corresponde a x=3, luego }\Delta x = 3-0=3\\&\\&\text{Como}\\&\\&f(x)=337.09e^{0.0047x}\\&\\&\text{la derivada es}\\&\\&f'(x)=337.09e^{0.0047x}·0.0047=1.584323e^{0.0047x}\\&\\&\text{Y la derivada en x=0 que es la que necesitamos}\\&\\&f'(0)=1.584323·e^0=1.584323\\&\\&\text{Y por lo tanto el cambio será}\\&\\&\Delta f(x)=1.584323·3 = 4.752969\\&\\&·\\&\\&\\&b)  \text{La ecuación de la recta tangente en } (x_0,y_0) \;es\\&\\&y-y_0= f'(x_0)(x-x_0)\\&\\&x_0=0\\&\\&\text{Ya se calculo }f'(0)\\&\\&f'(x_0)=f'(0) = 1.584323\\&\\&y_0=f(x_0)=f(0)=337.09e^{0.0047·0}=337.09\\&\\&\text{Y la ecuación de la tangente es:}\\&\\&y-337.09= 1.584323(x-0)\\&\\&y = 1.584323x + 337.09\\&\\&\text{La aproximación de concentración en x=3 será}\\&\\&y = 1.584323·3 + 337.09= 341.842969\end{align}$$

·

c) Tal como han escrito el enunciado no son resultados comparables directamente. En el inciso a) nos pedían el cambio y el cambio era

4.752969

Luego si lo que queremos es calcular la concentración en el año 1 habrá que sumar está cantidad a la concentración en el año 0 que es 337.09

337.09 + 4.752969 = 341.842969

Ahora si que podemos comparar esa cantidad con la del inciso b), vemos que es la misma.

La conclusión es que la función del diferencial que se usa para aproximar el valor de la función en un punto próximo, es la misma que la función que proviene de la recta tangente en el punto. O por lo menos eso creo que quieren decir.

Y eso es todo, sa lu dos.

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¡Gracias! Muy amable agradezco su atención

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