¿Cómo desarrollar este ejercicio de razón de cambio? Es corto
Muchos objetos esféricos como las gotas de lluvia, las bolas de nieve y las bola de naftalina se evaporan a una razón proporcional a su área superficial. En este caso, demuestre cómo el radio del objeto decrece a razón constante
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Daniela!
$$\begin{align}&\text{El radio será una función del tiempo } r(t)\\&\\&\text{El volumen es} \\&\\&V(t)=\frac 43 \pi r^3\\&\\&\text{La superficie es}\\&\\&S(t)= 4\pi r^2\\&\\&\text{Entonces en un incremento de tiempo dt}\\&\text{el volumen pasara a ser}\\&\\&V(t+dt) = \frac 43 \pi r^3-4\pi r^2k\,dt\\&\text{para determinada constante k}\\&\\&\frac{dV}{dt}=\lim_{dt\to 0} \frac{V(t+dt)-V(t)}{dt}=\\&\\&\lim_{dt\to 0} \frac{V(t+dt)-V(t)}{dt}=\frac{-4\pi r^2k\;dt}{dt}= -4\pi r^2k\\&\\&\text{Por la regla dela cadena}\\&\\&\frac {dV}{dt}= \frac{d V}{dr}· \frac{dr}{dt}\\&\\&\frac{dr}{dt}= \frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{dV}{dr}}=\frac{-4\pi r^2k}{\frac{dV}{dr}}\\&\\&\text{Cosiderando V como función de r es}\\&\\&V(r)= \frac 43 \pi r^3\\&\\&\frac{dV}{dr}=4\pi r^2\\&\\&\text{luego}\\&\\&\frac{dr}{dt}= \frac{-4\pi r^2k}{4\pi r^2}= -k\\&\end{align}$$La derivada de radio respecto del tiempo es una constante negativa, luego decrece a razón constante.
Y eso es todo, saludos.
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