¿Esta bien este ejercicio de álgebra lineal?

Aplicacion lineal f:R^4-> R^3 dada por la siguiente ecuacion referida a las bases canónicas f(x,y,z,t) = (x+z-t , -2x+4y+2z-6t , -x+2y+z-3t)

A) Hallar las bases canónicas y la forma canonica reducida por filas:

-Matriz respecto a bases canonicas: ((1, 0, 1, -1,)(-2, 4, 2, -6)( -1, 2, 1,-3))

-Reducida canonica por filas: ((1, 0, 1, -1)( 0, 1, 1, -2))

B) Hallar dimensiones, bases y ecuaciones cartesianas de Ker(f) e Im(f):

-Dim Ker(f) = 2 y Dim Im(f) = 2

-Bases Ker(f) = (-1,-1,1,0) y (1,2,0,1)

-Bases Im(f)= (1,-2,-1)(0,4,2)

-Ecuaciones cartesianas Ker(f)      x+z-t=0     e     y+z-2t=0

-Ecuaciones cartesianas Im(f)      y-2z=0

C)Hallar un suplemento de U para Ker(f) y estudiar que relación existe entre f(U) e Im(f)

- Base de U: NO SE HACERLO

-Relación entre f(U) e Im(f): NO SE HACERLO

Le agradecería mucho que me explicase como hacer el apartado C ya que no lo entiendo y comprobase que el apartado A y B están bien.

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5.848.775 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

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¡Hola Anónimo!

No se quién es U, a lo mejor no esá bien el enunciado. De todas formas voy a hacer algo por si te sirve.

Un suplemento de Ker f será un subespacio que en suma directa con Ker f nos dé R4.

Sabemos que Kerf tiene dimensión 2 y una de sus bases es

{ (-1,-1,1,0), (1,2,0,1)}

Vamos a tomar otra, al segundo le sumo el primero

{(-1, -1, 1, 0), (0, 1, 1,1)}

Para hallar una base del suplemento hay que encontrar dos vectores linealmente independientes con estos dos y entre si. Es sencillo, la base del complemento es

 {(0,0,1,0), (0,0,0,1)}

ya que si los pones en filas tendrás una matriz de determinante -1

Si con U se refieren al complemento tendremos que una base de f(U) será

f(0,0,1,0) = (1,2,1)

f(0,0,0,1) = (-1,-6,-3)

Si a la segunda le sumamos la primera quedan

(1, 2, 1), (0,-4,-2)

Y si esta segunda la multiplicamos por -1

(1,2,1), (0,4,2)

Con lo cual tenemos que im(f) = f(U)

Como cabía esperar, por cierto.

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Y eso es todo, saludos.

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¡Gracias! Me ha sido de gran ayuda.

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