ED utilizando el factor integrante
Resuelve la siguiente ecuación diferencial utilizando el factor integrante edecuado.
$$\begin{align}&(2x^2+y)dx+(x^2y-x)dy=0\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Víctor!
$$\begin{align}&(2x^2+y)dx+(x^2y-x)dy=0\\&\\&M_y=1\\&N_x=2xy-1\\&\\&M_y-N_x=2-2xy\\&\\&\text{Tenemos}\\&\\&\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{2-2xy}{x^2y-x}=\frac{2(1-xy)}{-x(1-xy)}=-\frac 2x\\&\\&\text{que no depende de y, en este caso el factor integrante es}\\&\\&\mu(x) = e^{\int \frac{M_y-N_x}{N}dx}= e^{-\int \frac 2x dx }= e^{-2ln\,x}= e^{ln\,x^{-2}}=\frac 1{x^2}\\&\\&\text{multiplicando por él la ecuación queda}\\&\\&\left(2+\frac{y}{x^2}\right)dx+\left(y-\frac 1x\right)dy=0\\&\\&\text{La solución será una función}\\&u(x,y)=C\\&\\&\text{integramos el primer miembro respecto de x}\\&\\&u(x,y)=2x-\frac yx+\varphi(y)\\&\\&\text{derivamos respecto de y e igualamos al segundo}\\&\\&-\frac 1x +\varphi'(y)=y-\frac 1x\\&\\&\varphi'(y)=y\\&\\&\text{Integramos respecto de y}\\&\\&\varphi(y) = \frac {y^2}2\\&\\&\text{Luego la solución es}\\&\\&2x-\frac yx+ \frac {y^2}2= C\\&\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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