Indicar si una serie es convergente o divergente
Expresar como una serie la siguiente función
f(n)=2n
Indicar y fundamentar si la serie es convergente o divergente
1 Respuesta
si perdon es f(x)=2^n
Vamos a ver, para no confundir las cosas vamos a usar la notación normal y corriente, la función será:
f(x)=2^x
Y así tenemos la n para usar en los sumatorios y términos generales.
No nos dicen el punto sobre el que se construye la serie pero tomaremos x=0 que es el normal para las funciones exponenciales. Calculamos el valor de la función y las derivadas en x=0
$$\begin{align}&f(x)=a^x\implies f(0)=1\\&f'(x)=a^x· ln\,a\implies f'(0) = ln\,a\\&f''(x)= a^x·(ln\,a)^2\implies f''(0)= (ln\,a)^2\\&....\\&f^{(n)}(x)=a^x·(ln\,a)^n\implies f^{(n)}(0)=(ln\,a)^n\\&\\&\text{la serie será}\\&\\&a^x\approx\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ln\, a)^n x^n}{n!}\\&\\&\text{Calculamos el radio de convergencia }\\&\text{por el criterio del cociente}\\&\\&R=\lim_{n\to \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{(ln\,a)^n}{n!}}{\frac{(ln\,a)^{n+1}}{(n+1)!}}=\\&\\&\lim_{n\to \infty} \frac{(ln\,a)^n·(n+1)!}{(ln\,a)^{n+1}·n!}=\frac{n+1}{ln\,a}=\infty\\&\end{align}$$Luego el radio de convergencia es infinito y la serie converge en todo R.
Y eso es todo, sa lu dos.
:
:
el profesor de calculo me informa que la serie es 2n (dos multiplicado por "ene") por lo tanto no es necesario utilizar ninguna potencia, lo que se requiere es darle valor a las "enes" y observar la tendencia que va tomando los resultados para poder poder decir si es una serie convergente o divergente
Es que era un ejercicio donde se mezclaba calcular series de Taylor con otras cosas distintas, por eso confundía.
Si la serie es 2n, es una serie divergente como un camión, sus valores son
s1= 2
s2= 2+ 2·2 = 6
s3 = 6 + 2·3 = 12
s4 = 12 + 2·4 = 20
s5 = 20 + 2·5 = 30
sn = n^2+n
Luego el límite cuando tiende n a infinito es infinito, la serie es divergente.
Sa lu dos.
