Aplicando el criterio de Cauchy determinar el carácter de la siguiente serie:
$$\begin{align}&d) \frac{1}{ln^33}+ \frac{1}{ln^44}+ \frac{1}{ln^55}+ \frac{1}{ln^66}+...\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Maar!
Yo no he visto que se use esa forma de ponerlo, pero supongo que quieres poner exponentes. El criterio de Cauchy es el criterio de la raíz enésima del término enésimo. Para no armarnos un lío tremendo vamos a añadir al principio dos términos con valor 0, de forma que el término enésimo será el logaritmo de n todo ello elevado a la n
$$\begin{align}&L=\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{ln^{n}n}}=\\&\\&\lim_{n\to\infty}\frac{1}{ln\,n}= \frac 1{\infty}=0\\&\\&\text{Y el criterio dice que si }L\lt0\\&\text{la serie es absolutamente convergente}\end{align}$$En este caso absolutamente convergente y convergente es lo mismo ya que es una serie de términos positivos, luego es convergente.
Y eso es todo, saludos.
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