Colaboración para el desarrollo de las siguientes integrales
Apoyo para el desarrollo de los ejercicios propuesto en la materia de calculo integral.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Johan!
La segunda me suena, es muy difícil, de este tipo solo haremos una integral por pregunta.
$$\begin{align}&5) \int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}x\;dx\\&\\&t= 1-x^2\implies x^2=1-t\\&dt = -2xdx\implies x\;dx=-\frac 12dt\\&\\&=-\frac 12\int \frac{1-t}{\sqrt t}dt =\\&\\&-\frac 12\int\left(t^{- \frac 12}-t^{\frac 12} \right)dt=\\&\\&-\frac 12 \left(\frac{t^{\frac 12}}{\frac 12}-\frac {t^{\frac 32}}{\frac 32} \right)+C=\\&\\&\frac{t^{\frac 32}}{3}-t^{\frac 12}+C=\\&\\&\left(\frac{t}{3}-1\right)t^{\frac 12}=\\&\\&\left(\frac{1-x^2}{3}-1\right)\sqrt{1-x^2}+C\\&\\&- \frac{(2+x^2) \sqrt{1-x^2}}{3}+C\\&\end{align}$$Bueno, yo he tomado un factor común que seguramente mucha gente no tomaría, y no sé si ha sido muy afortunado. Otra opción que podría ser mejor es:
$$\begin{align}&\frac{(1-x^2)^{\frac 32}}{3}-(1-x^2)^{\frac 12}+C=\\&\\&\frac{\sqrt{(1-x^2)^3}}{3}-\sqrt{1-x^2}+C\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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