Quien en gana me analista en matemáticas quien gana y desarrolla

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¡Hola Sneider!

Haré la primera, no son ejercicios tan sencillos para ir dos en la misma pregunta.

$$\begin{align}&\int \frac{\sqrt{2+9 \sqrt[3]x}}{\sqrt[3]{x^2}}dx=\\&\\&\text{Yo creo que no nos dejan otro cambio que este}\\&\\&t=2+9x^{1/3}\\&\\&dt=3x^{-\frac 23}dx\implies \frac{1}{\sqrt[3]x^2}dx=\frac 13dt\\&\\&=\frac 13\int \sqrt t\;dt=\frac 13\int t^{\frac 12}dt= \frac 13·\frac{t^{\frac 32}}{\frac 32}+C =\\&\\&\frac 29t^{\frac 32}+C = \frac 29\left(2+9x^{\frac 13}\right)^{\frac 32}+C=\\&\\&\frac 29 \sqrt{\left(2+9 \sqrt[3]x\right)^3}+C\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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En cuanto a la segunda integral, es necesario conocer primero la derivada de la función arcoseno:

$$\begin{align}&\frac{d}{dx}(arcsin(x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{align}$$

Y se observa entonces que la integral se puede interpretar como sigue:

$$\begin{align}&\int{\frac{x.dx}{\sqrt{3-(x^2)^2}}}\end{align}$$

Para quitarnos la molesta "x" del denominador, realizamos el cambio de variable x^2=u:

$$\begin{align}&dx=\frac{du}{2x}\end{align}$$

Con lo que la intergal original queda:

$$\begin{align}&\int\frac{du}{\sqrt{3-u^2}}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\int\frac{du}{\sqrt{3-u^2}}=\frac{1}{2}\frac{1}{9}\int\frac{du}{\sqrt{1-(\frac{u}{\sqrt{3}})^2}}=\frac{1}{18}arcsin(\frac{x^2}{18})+cte\end{align}$$

Con esto queda resuelta la integral.