Problema de optimización. Aplicaciones de la derivada
El ecólogo Ed debe cruzar un lago circular de 1 milla de radio. Puede remar a través del lago a una velocidad de 2 millas por hora, o caminar alrededor del lago a una velocidad de 4 millas por hora; también puede remar un cierto trecho y completar el itinerario caminando.
¿Qué ruta debe tomar de manera que:
i) ¿Pueda ver la mayor cantidad de paisaje posible?
Ii) ¿Pueda cruzar tan rápido como sea posible?
1 respuesta
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¡Hola Ninel!
i)
Sorprendente la primera pregunta. No sé tendrás algún dibujo que la aclare. Yo pienso que tan pasisaje es el que se vea dentro del lago como el que se vea fuera, luego que se verá mas pasisaje cuanto más largo sea el recorrido. Cualquier cuerda de la circunferencia que recorra remando mide menos que el arco correspondiente, luego verá más paisaje si va caminando alrededor del lago.
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Ii)
Suponemos que primero rema y después va a pie. Empieza a remar en el punto (1,0) hasta cierto punto.
Supongamos que ese punto por donde se sale del lago tiene ángulo alfa en la circunferencia trigonométrica. Luego será el punto
(Cos(alfa), sen(alfa)) Entonces la distancia recorrida en el lago será
$$\begin{align}&d[(1,0), (\cos\alpha, sen\,\alpha)]=\\&\\&\sqrt{(\cos \alpha-1)^2+sen^2\alpha}=\\&\\&\sqrt{\cos^2\alpha-2 \cos \alpha+1 + sen^2 \alpha}=\\&\\&\sqrt{2-2 \cos \alpha}\\&\\&\text{Y la distancia recorrida alrededor del lago será}\\&\\&\pi-\alpha\\&\\&\text{Luego el tiempo invertido será}\\&\\&t(\alpha)=\frac{\sqrt{2-2 \cos \alpha}}{2}+ \frac{\pi-\alpha}{4}\\&\\&\text{derivamos e igualamos a 0}\\&\\&t'(\alpha)=\frac{2sen\,\alpha}{4 \sqrt{2-2 \cos\alpha}}-\frac 14=0\\&\\&\frac{2sen\,\alpha}{4 \sqrt{2-2 \cos\alpha}}=\frac 14\\&\\&8 sen\,\alpha = 4 \sqrt{2-2 \cos\alpha}\\&\\&2 sen\,\alpha = \sqrt{2-2 \cos\alpha}\\&\\&\text{elevaremos al cuadrado a ver si se puede hacer algo}\\&\\&4sen^2\alpha = 2 - 2 \cos\alpha\\&\\&4(1-\cos^2\alpha) =2-2 \cos \alpha\\&\\&4 \cos^2 \alpha-2cos\alpha-2=0\\&\\&\cos \alpha=\frac{2\pm \sqrt{4+32}}{8}=\frac{2\pm6}{8}= 1\;y\;-\frac 12\\&\\&\alpha_1=0\\&\\&\alpha_2= 120º = \frac 23\pi\\&\\&\alpha_3 =240º= \frac 43 \pi\\&\\&\text{Vemos que }\alpha=0\text{ no sirve porque no cumple}\\&\\&\frac{2sen\,\alpha}{4 \sqrt{2-2 \cos\alpha}}-\frac 14=0\\&\\&\text{hay un 0/0 del que se aprovechan para que haya}\\&\text{una igualdad falsa}\\&\\&\text{Y en las otras dos respuestas se recorre lo mismo}\\&\\&\text{Que poco gusto da calcular la derivada segunda}\\&\\&t'(\alpha)=\frac{2sen\,\alpha}{4 \sqrt{2-2 \cos\alpha}}-\frac 14=\frac{sen\,\alpha}{2 \sqrt{2-2 \cos\alpha}}-\frac 14\\&\\&t''(\alpha)=\frac{2cos \alpha \sqrt{2-2 \cos \alpha}-sen\alpha·\frac{2sen\,\alpha}{\sqrt{2-2 \cos \alpha}}}{8-8 \cos \alpha}=\\&\\&\frac{2 \cos \alpha(2-2 \cos \alpha)-2sen ^2 \alpha}{(8-8 \cos \alpha) \sqrt{2-2 \cos \alpha}}=\\&\\&\frac{4 \cos \alpha-4cos^2 \alpha-2sen^2 \alpha}{(8-8 \cos \alpha) \sqrt{2-2 \cos \alpha}}=\\&\\&\frac{4 \cos \alpha-2-2cos^2 \alpha}{(8-8 \cos \alpha) \sqrt{2-2 \cos \alpha}}=\\&\\&f''\bigg|_{\cos \alpha=-\frac 12}=\frac{-2-2-\frac 12}{\text{algo positivo}}\lt 0\implies máximo\\&\end{align}$$Luego el mínimo será uno de los extremos, o bien con alpha =0 o con alpha = pi
alfa= es todo por fuera
alfa = pi es todo remando
Por fuera el recorrido es pi y se recorre en pi/4 = 0.785398s
Por dentro el recorrido es 2 y se recorre en 2/2 = 1s
Luego la forma más rapida de hacerlo es todo por fuera del lago, a pie.
Y eso es todo, saludos.
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Ya decía yo que no hacía falta calcular la derivada segunda.
Hemos tomada que alfa pertenece al intervalo [0, pi] ya que entre pi y 2pi se recorren las mismas distancias. Por ser un cerrado donde la función es continua y derivable el mínimo estará en los puntos criticos o en los extremos.
Respecto a los extremos ya vimos que el mínimo era pi/4, solo falta calcular el tiempo en el punto crítico
$$\begin{align}&alfa = \frac {2 \pi}3\\&\\&\cos(alfa) = - \frac 12\\&\\&t\left(\frac{2pi}3\right)=\frac{\sqrt{2-2·\left(-\frac 12 \right)}}{2}+\frac{\pi-\frac{2\pi}{3}}{4}=\\&\\&\frac{\sqrt 3}{2}+\frac {\pi}{12}= 1.127824\end{align}$$Que es el valor más alto de los 3 luego el menor tiempo era el calculado antes, todo por fuera del lago y nos podíamos haber evitado el cálculo de la derivada segunda.
