Conjuntos: Perfectos, Cerrados, Compactos, Acotados.
Justifique cada ejemplo.
1) Encontrar un conjunto perfecto.
2) Encontrar un conjunto cerrado que no sea perfecto.
3) Encontrar un conjunto compacto que no sea perfecto
4) Encontrar un conjunto acotado que no sea perfecto.
5) Encontrar un conjunto cerrado que no sea compacto ni perfecto.
1 respuesta
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¡Hola Gabriela!
1) En R2 tomamos este conjunto
P = {(x,y) | x^2 + y^2 <=1}
Es un conjunto perfecto porque todos sus puntos son de acumulación, cualquiera entorno de ellos contiene otro elemento del conjunto.
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2)
Ese mismo añadiéndole un punto suelto
Q = {(x,y)| x^2+y^2<=1} U {(1,1)}
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3) En R^n un conjunto compacto es un cerrado y acotado. Ese mismo anterior es compacto, luego Q es compacto no perfecto
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4) Serviría ese mismo Q pero vamos a decir otro
R ={(x,y) | |x|+|y| <=1} U{(2,2), (3,1)}
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5) Ahora tomaremos R. Para que sea cerrado pero no compacro deberá ser no acotado, tomamos por ejemplo el eje positivo, y para que no sea perfecto hay que añadirle algún punto suelto
S ={x | x >=0 } U {-1, -7, -3/2}
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Y eso es todo, saludos.
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