Problema del montañista (Vector gradiente)
La superficie de una montaña se modela mediante la ecuación:
$$\begin{align}&h(x, y)=5000 − 0,001x^2 − 0,004y^2\end{align}$$Un montañista se encuentra en el punto (500; 300; 4390). ¿En que dirección debe moverse para ascender con la mayor rapidez? ¿Que angulo forma esa dirección con el eje x?
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Maar!
La dirección de máximo crecimiento de una función de R^n en R es la dirección del vector gradiente, que es el vector formado por las respectivas derivadas parciales.
$$\begin{align}&\nabla h= \left(\frac{\partial h}{\partial x}, \frac{\partial h}{\partial y} \right)\\&\\&\nabla h=(-0.002x, -0.008y)\\&\\&\text{En el punto }(x,y)=(500,300) \text{ el gradiente es }\\&\\&(-0.002·500, -0.008·300)=(-1, -2.4)\\&\\&\text{Luego esa es la dirección en la que debe moverse}\\&\text{Si acaso por ponerlo en números fraccionarios}\\&\\&\left( -1,-\frac {12}5\right) \\&\\&\text{Y el ángulo será este}\\&\\&arctg \frac{-\frac{12}{5}}{-1}+180º = arctg \frac {12}5+180º=\\&\\&67.380135º + 180º = 247.380135º\\&\\&\text{o en radianes}\\&\\&\frac{247.380135º}{360º}·2\pi\,rad= 4.31759786 \,rad\\&\\&\end{align}$$Hay que sumar esos 180º porque el arcotangente es una función que toma valores entre -90º y 90. Y el vector gradiente estaba entre 180 y 270º. Cuando un ángulo está en el segundo o tercer cuadrante hay que sumar 180º a la función arcotangente.
Y eso es todo, saludos.
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