Como solucionar problema de ecuaciones diferenciales.

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¡Hola German!

Se podrían tocar los pies los ingleses estos con sus medidas medievales.

Usaré pies y lbras

La fuerza de la gravedad en pies es

g = 32ft/s^2

Un pie tiene 12 pulgadas

1ft = 12in

Las fuerzas cuando se queda en reposo son

La gravedad

- mg = - 4lb · 32 ft/s^2 = - 128 lb·ft/s^2

La fuerza del muelle

F = -kx = -k(-0.25ft) = k·0.25ft

Y entre las dos deben sumar 0

k·0.25ft - 128 lb·ft/s^2= 0

k·0.25ft = 128 lb·ft/s^2

k = 512 lb/s^2

La ecuación diferencial será:

Sumatorio de fuerzas = ma

$$\begin{align}&-mg - ky = ma\\&\\&-g -\frac{k}{m}y = a\\&\\&\text{Como la aceleración es la derivada segunda de la posición}\\&\\&-g - \frac{k}{m}y = y''\\&\\&y''+\frac{k}{m}y = -g\\&\\&\text{Es una ecuación diferencial lineal con}\\&\text{coeficientes fijos. Su ecuación característica es}\\&\\&t^2+\frac km=0\\&\\&t^2=-\frac km\\&\\&t=\pm i \sqrt {\frac km}\\&\\&\text{La solución general de la homogénea es}\\&\\&y_{GH} = C_1cos\left(t \sqrt{\frac km}  \right)+C_2sen\left(t \sqrt{\frac km}  \right)\\&\\&\text{Como solución particular tomamos un constante C}\\&\\&\frac km C = -g\implies C= -\frac{mg}{k}\\&\\&\text{Y la solución general de la completa es}\\&\\&y = C_1cos\left(t \sqrt{\frac km}  \right)+C_2sen\left(t \sqrt{\frac km}  \right)-\frac{mg}{k}\\&\\&y(0) = -0.25ft\\&\\&-0.25 = C_1-\frac{mg}{k}\implies C_1=\frac{mg}{k}-0.25\\&\\&y'(0) = -\sqrt 2\\&\\&y' = -C_1 \sqrt{\frac km}sen\left(t \sqrt{\frac km}  \right)+C_2 \sqrt{\frac km}\cos\left(t \sqrt{\frac km}  \right)\\&\\&-\sqrt 2=C_2 \sqrt{\frac km}\\&\\&C_2=- \sqrt{\frac{2m}{k}}\\&\\&\text{Luego la ecuación de movimiento es}\\&\\&y(t)=\left(\frac {mg}{k}-0.25\right)\cos\left(t \sqrt{\frac km}  \right)-\sqrt{\frac{2m}{k}}·sen\left(t \sqrt{\frac km}  \right)-\frac{mg}{k}\\&\\&\text{Y sustituyendo los valores}\\&m=4\,lb\\&g=32\,ft/s^2\\&k=512\,lb/s^2\\&\\&y(t)=\left(\frac {4·32}{512}-0.25\right)\cos\left(t \sqrt{\frac {512}4}  \right)-\sqrt{\frac{8}{512}}·sen\left(t \sqrt{\frac {512}4}  \right)-\frac{4·32}{512}\\&\\&y(t) = 0·\cos\left(t \sqrt{\frac {512}4}  \right)-\frac 18sen(8 \sqrt 2\,t)-\frac 14\\&\\&y(t)= -\frac 18sen(8 \sqrt 2\,t)-\frac 14\\&\\&\text{La amplitud es }\frac 18ft\\&\\&\text{El periodo es } T=\frac{2\pi}{8 \sqrt 2} = \frac{\sqrt 2 \;\pi}{8} s\\&\\&\text{La frecuencia es } f=\frac 1T =\frac{4 \sqrt 2}{\pi} s^{-1}\quad(ó \;Hz)\\&\\&\text{Vuelve a la posición de equilibrio a medio periodo }\\&\\&\frac T2= \frac{\sqrt 2 \;\pi}{4} s\\&\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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Buenas noches Profesor Valero.

Tengo una duda en el sistema Ingles el peso=libra fuerza, es necesario multiplicar las 4lb por 32.

"Se podrían tocar los pies los ingleses estos con sus medidas medievales."

jajajajajajajajaja.

¿Profe otra pregunta de que país es usted?