Hallar las diagonales de un paralelogramo sin hallar sus vértices.

Los lados de un paralelogramo están delimitados por las rectas x+2y-10=0 ; 3x-y+20=0  ; x+2y-15=0  ; 3x-y+10=0.

Encontrar las ecuaciones de las diagonales sin encontrar los vértices del paralelogramo.

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Este problema me ha aclarado que me falta trabajar la parte del planteamiento operativo, ya que no consigo resolverlo sin hallar los vértices. Aún no termino de dominar los haces de rectas.

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¡Hola Llaq!

Pues mira, voy a aprender algo porque este ejercicio nunca la había visto

Dadas dos rectas en la forma

Ax+By+C = 0

Dx+Ey+F = 0 

Si multiplicas la primera por un numero t y la segunda también por un número s y las sumas se cumplirá

s(Ax+By+C) + t(Dx+Ey+F) = 0

Y esta es la expresión de una nueva recta que además pasa por el punto común de las dos rectas ya que para ese punto tendremos

s·0 + t·0 = 0

El conjunto de estas combinaciones lineales de las dos rectas es un haz de rectas con vertice en el punto de intersección.

Entonces la diagonal es una recta del haz que pasa por un vértice, pero también del haz que pasa por el otro vértice, lo que tendremos que hacer es formar los dos haces y hallar la rectq que tienen en común

Tomamos dos rectas no paralelas

x+2y-10=0

3x-y+20=0

Y las otras dos

x+2y-15=0

3x-y+10=0

Formamos los dos haces y los igualamos. Pero un momento, si tomamos 4 parámetros no podrá ser porque solo tendremos tres ecuaciones. Haremos que un parametro del primer haz sea 1, esto es posible porque la diagonal no coincide con ninguna de las dos rectas, luego debe tener los dos parámetros no nulos y dividiendo por uno queda un parametro reducido al número 1

x+2y-10 + a(3x-y+20) = b(x+2y-15) + c(3x-y+10)

(1+3a-b-3c)x + (2-a-2b+c)y -10 + 20a + 15b-10c = 0

Y esto debe suceder para todo x y y, luego tenemos tres ecuaciones

3a - b - 3c + 1 = 0

-a - 2b + c +2 = 0

20a + 15b - 10c - 10 = 0

Que te voy a dejar que resuelvas con tu método favorito. Una vez calculado simplemente a la diagonal será

x+2y-10 + a(3x-y+20) = 0

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Y para la otra diagonal haces lo mismo, pero con estos pares de rectas

x+2y-10=0

3x-y+10=0

y

x+2y-15=0

3x-y+20=0

Caramba, si que es costoso esto.

Saludos.

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