.Mínimos de una función para evaluar costes
Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor de 9 metros cúbicos y formar de paralelepípedo rectangular de 1 m de altura si el coste de construcción por metro cuadrado es 50 euros para la base, 60 euroa para la tapa y 40 para paredes laterales.
2 respuestas
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Hola juana!
Seanx, y las dimensiones de la base.
h=1 m
C=50xy+60xy+40(2xh+2yh)
C=110xy+80x+80y
Es una función de dos variables. Pero otro lado sabemos su volumen:
V=9 =xyh
$$\begin{align}&9=xy\\&\\&y=\frac{9}{x}\\&\\&C(x)=110x \frac{9}{x}+80x+80 \frac{9}{x}=990+80x+\frac{720}{x}\\&\\&C'(x)=80-\frac{720}{x^2}\\&C'(x)=0\\&\\&80=\frac{720}{x^2}\\&\\&x^2=\frac{720}{9}=9\\&x=3\\&y=3\\&C''(x)=D(80-720x^{-2})=0+1440 x^{-3}\\&\\&C''(x)=\frac{1440}{x^3}\\&C''(3)>0 \Rightarrow mínimo\end{align}$$
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¡Hola Juana!
La altura ya nos la dan obligatoriamente 1.
Luego el volumen será
V(x,y) = xy= 9
Y la función que debe minimizarse es el precio
P(x,y) = 50xy + 60xy + 2 · 40x + 2 · 40y = 110 xy + 80x + 80y
Como xy=9 ==> y=9/x
P(x,y) = 9 · 110 + 80x + 80 · 9/x
P(x) = 990 + 80x + 720/x
Derivamos e igualamos a 0
P'(x) = 80 - 720 / x^2 = 0
80x^2 - 720 = 0
80x^2 = 720
x^2 = 9
x=3
Luego y = 9/3 = 3
Es un mínimo ya que la derivada segunda es
P''(x) = 720·2/x^3 = 1440 / x^3
P''(3) = 1440 / 27 >0
Luego la base es un cuadrado 3x3, es el resultado que cabía esperar porque x y y no se distinguen en nada luego el mismo valor debían tener.
Y eso es todo, saludos.
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