Como resolver integral definida trigonométricas

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Hola germán!

Saludos

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¡Hola German!

La integral en esencia presenta la figura de un arcotangente ya que en el denominador esta un número positivo más una función al cuadrado y en el numerador la derivada de esa función, lo que si se necesita es un ajuste de las constantes.

$$\begin{align}&\int_0^{\frac \pi 2}\frac{sen\,x}{25+\cos^2x}dx=\\&\\&\\&\frac 1{25}\int_0^{\frac \pi 2}\frac{sen\,x}{1+\frac{\cos^2x}{25}}dx=\\&\\&\frac 1{25}\int_0^{\frac \pi 2}\frac{sen\,x}{1+\left(\frac{\cos x}{5}\right)^2}dx=\\&\\&(-5)·\frac 1{25}\int_0^{\frac \pi 2}\frac{-\frac 15sen\,x}{1+\left(\frac{\cos x}{5}\right)^2}dx=\\&\\&\text{Ya lo hemos conseguido, en la integral hay una}\\&\text{derivada exacta.  Y si hemos luchado por llegar a}\\&\text{esto, no lo vamos a fastidiar ahora haciendo un}\\&\text{cambio de variable, eso se integra directo ya}\\&\\&=-\frac 15arctg\left(\frac{cosx}5  \right)\Bigg|_0^{\frac \pi 2}=\\&\\&-\frac 15 \left(arctg0-arctg\left( \frac 15\right)\right)=\frac 15 arctg \left(\frac 15\right)\approx\\&\\&\text{la rspuesta tiene que dejarse como arriba porque es}\\&\text{es un número irracional, pero para que no digas}\\&\text{que no la quiero calcular}\\&\\&\approx 2.261986495\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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Esta integral se resuelve realizando el siguiente cambio de variable:

$$\begin{align}&u=cosx\\\\&du=-sinx  \;dx\end{align}$$

Sustituyendo en la expresión original:

$$\begin{align}&-\int_0^{\pi/2}\frac{-sen(x)dx}{25+\cos^2x}=-\int_0^{\pi/2}\frac{du}{25+u^2}\end{align}$$

Volvemos a usar otro cambio de variable:

$$\begin{align}&u=5v\\\\&du=5dv\end{align}$$

Y quedaría la expresión:

\int_0

$$\begin{align}&-\int_0^{\pi/2}\frac{5dv}{25v^2+25}=-\int_0^{\pi/2}\frac{5dv}{5(5v^2+5)}=\\\\&=-\int_0^{\pi/2}\frac{1}{5v^2+5}dv=-\frac{1}{5}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{v^2+1}dv=\left[-\frac{1}{5}arctg(v)\right]_0^{\pi/2}\end{align}$$

Deshacemos los cambios de variable:

$$\begin{align}&\left[-\frac{1}{5}arctg(v)\right]_0^{\pi/2}=\left[-\frac{1}{5}arctg(\frac{u}{5})\right]_0^{\pi/2}=\\\\&=\left[-\frac{1}{5}arctg(\frac{cosx}{5})\right]_0^{\pi/2}=\left(-\frac{1}{5}arctg(\frac{\cos(\pi/2)}{5})\right)-\left(-\frac{1}{5}arctg(\frac{\cos(0)}{5})\right)=\\\\&=0-(-2.262)=2.262\end{align}$$