Anónimo
Como aplicar el Teorema de Rouché Frobenius a este sistema de ecuaciones
Como aplicar el teorema de Rouché Frobenius a este sistema de ecuaciones siguiente:
x-y+z=1
4x+5y-5z=4
2x+y-z=2
x+2y+2z=1
2 Respuestas
;)
Hola Yolanda!
El Teorema de Rouchè diu que sin RangM=RangM* =r el sistema es compatible
Si aquest rang r=n (nombre d'incògnites) es Determinat.
Si r<n Compatible indeterminat.
M es la matriu dels coeficients ( sense la última columna)
M* És la matriu ampliada.
El rang es pot calcular amb determinants o esglaonant. Si esglanoes la matriu, el rang és el nombre de files no nules.
Esglaonem:
rangM =3
rangM*=3
n=3
Sistema compatible Determinat
Salutacions
;)
¡Moltes gràcies! Solament una pregunta, per calcular-ho per determinant com es faria? es que ho estic intentant i no em surt.
;)
Es fa per el procediment d'anar orlant menors no nuls.
Però aquí com la matriu és 4x4 jo calcularia primerament aquest determinant, ja que si dòna diferent de 0 ja sabré que el rangM*=4, i com rangM no pot ser 4 ja que és una matriu 4x3 el sistema seria incompatible.
Per calcular un determinant d'ordre 4 s'han de posar ceros al determinant ja que sino es molt llarg de calcular. Recorda que un determinant no varia si a una fila le sumes o restes múltiples d'una altra fila. Es justament el que hem fet per esglaonarlo, luego
detM*= es el determinant de la matriu
que com té una fila de 0 dòna 0.
Luego rangM*<4
Per que sigui 3, hem de trobar un menor (determinant) d'ordre 3 que doni diferent de 0
Per no tenir que calcular tots, es fa lo de Orlar.
Busquem a ull un d'ordre 2 que doni diferente de 0. Per exemple la esquina esquerra de dalt:
=2-(-1)=3 diferent de cero. Luego ara solament hem de provar els determinants d'ordre 3
Que es construeixen orlant (afegint una fila i columana) a aquest:
Orlant aquest menor per la tercera fila i tercera columna, tenim el determinant:
=-36 (Sarrus) diferent de 0 . Lo qual implica que rangM*=rangM=3
Salut!
;)
:)
·
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¡Hola Yolanda!
El sistema será compatible si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. Si además este rango coincide con el número de incógnitas, será compatible determinado con una respuesta única. Y si no coincide será compatible indeterminado con una respuesta con tantos parametros como el número de incógnitas menos el rango.
Las pongo en el orden que mejor me parece y haré operaciones de sumar filas multiplicadas por algo para conseguir ceros debajo de la diagonal
1 -1 1 | 1
1 2 2 | 1
4 5 -5 | 4
2 1 -1 | 2
--------
1 -1 1 | 1
0 3 1 | 0
0 9 -9 | 0
0 3 -3 | 0
------
Las dos últimas las divido por 9 y por 3
1 -1 1 | 1
0 3 1 | 0
0 1 -1 | 0
0 1 -1 | 0
A la cuarta le resto la tercera e intercambio segunda y tercera
1 -1 1 | 1
0 1 -1 | 0
0 3 1 | 0
0 0 0 | 0
A la tercera le sumo la segunda multiplicada por (-3)
1 -1 1 | 1
0 1 -1 | 0
0 0 4 | 0
0 0 0 | 0
Y ya no se pueden hacer más ceros por debajo, el rango de las dos matrices es igual a 3 y ese es el número de incógnitas, luego es un sistema compatible determinado y su solución es:
z=0
y=z=0
x =1 +y-z = 1
Luego la solución es:
(1,0,0)
Y eso es todo, sa lu dos.
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