Calcular la distancia entre las siguientes rectas:
$$\begin{cases}
x=5\lambda\\
y=2-\lambda\\
z=\lambda
\end{cases}$$$$\begin{align}&\vec{r_2}=(5;1;1)+t(7;-5;-5)\end{align}$$La respuesta debería ser que la distancia es 0 pero no se como llegar a ese resultado.
3 respuestas
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¡Hola Maar!
Si ya sabemos la respuesta de antemano es fácil verificarla, en caso de que no fuera cierto ya nos pondríamos con la complicada teoría. Nos han dado las dos rectas en dos forma que si no son hermanas son primas hermanas y no cuesta nada pasar la forma vectorial de la segunda a forma paramétrica. Si tuvieran algán punto común se verificarían simultaneamente estas tres ecuaciones:
Usare L para lambda
5L = 5+7t
2-L = 1-5t
L = 1 - 5t
ya tenemos despejado L en la tercera, lo sustituimos en la segnda
2-1+5t = 1-5t
1 + 5t = 1 - 5t
10t=0
t=0
L = 1-5·0 = 1
Y vemos si cumple la primera
5·1 = 5 + 7·0
5=5
Luego es verdad que se cortan y por tanto la distancia es 0, el punto donde se cortan lo obtenemos con t=0 en la segunda recta
(5,1,1)
Y eso es todo, saludos.
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;)
Hola Maar Hammet!
La distancia entre dos rectas se define como la menor de las distancias que se puede establecer entre las dos rectas.
Hay 4 casos, según la posición relativa de las dos rectas
Caso1) rectas secantes, como se cortan la menor distancia es 0
Cas2)
Rectas coincidentes, la distancia sería 0.
Cas3) rectas paralelas:la distancia es la del segmento perpendicular. Hay diferentes métodos para calcularla
Cas4) las rectas se cruzan sin tocarse (estan en planos diferentes). También hay diferentes maneras de calcularla.
Cuando se trata de calcular la distancia entre dos rectas, lo primero que hay que hacer es estudiar su posición relativa:
Escribamos los vectores de dirección de las dos rectas:
$$\begin{align}&\vec r=(5,-1,-1)\\&\\&\vec s=(7,-5,-5)\end{align}$$Estos dos vectores no son proporcionales,tienen diferente dirección, luego estamos en los
Casos 1(secantes) o caso4(se cruzan).
Para discernir cual, construyamos otro vector que vaya de un punto R de la recta r, a un punto S de la recta s:
R=(0,2,0)
S=(5,1,1)
$$\begin{align}&\vec{RS}=S-R=(5,1,1)-(0,2,0)=(5,-1,1)\end{align}$$estudiamos ahora el rango de los tres vectores(r,s,RS}
Si el Rango es 2 los tres vectores son coplanarios y las rectas serán secantes
Si el Rango es 3 los tres vectores no son coplanarios y las rectas se cruzan.
Para calcular el rango, hacemos el determinante de los tres vectores:
|5 0 5|
|-1 2 -1| = 0
|1 0 1|
Luego el rango es 2, luego las rectas son secantes y automáticamente, sin calcular nada,
Concluimos que la distancia entre las rectas (la menor) es 0.
Saludos
;)
;)
Para que la distancia sea cero, ambas rectas se deben cortar, al menos, en un punto. Para esto planteamos la igualdad entre ambas rectas y vemos que pasa (antes debemos escribir ambas rectas en la misma forma)
$$\begin{align}&\text{Voy a escribir la primer recta en forma parámetrica}\\&\lambda = 0 \to v_1=(0,2,0) \in r\\&\lambda = 1 \to v_2=(5,1,1) \in r\\&v_2-v_1 = (5,1,1)-(0,2,0) = (5,-1,1) \text{ (es un vector director)}\\&r = (5,-1,1) t + (0,2,0)\\&hacemos\ r=\overline{r_2}\\&(5,-1,1) t + (0,2,0) = (7,-5,5)t + (5,1,1)\\&(5t,-t+2,t) = (7t+5,-5t+1,5t+1)\\&\Rightarrow\\&5t = 7t+5 \to -2t=5.....(1)\\&-t+2=-5t+1 \to 4t = -1...(2)\\&t=5t+1 \to -4t = 1....(3)\\&De\ (2)\\&t = -1/4\\&\text{Veamos que cumple 1 y 3}\\&1)\\&-2 \cdot (-1/4) =1/2 \text{......(NO Cumple)}\\&3) -4 \cdot (-1/4) = 1 \text{......(Cumple)}\end{align}$$Veamos que hay una condición que no se cumple, por lo tanto hay 2 opciones:
1. No es cierto que la distancia entre ambas sea cero
2. Tuve un error en alguna de las cuentas (revísalo y confirma)