Forma correcta de calcular las siguientes derivadas
Cual seria la forma correcta de calcular las siguientes derivadas aplicando las reglas de la derivación.
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¡Hola Camila!
Debes mandarlas de dos en dos, así es como las contestamos. Luego resuelvo las dos primeras y las otras las mandas si quieres con dos en cada pregunta que hagas.
Se necesitarán estas reglas:
$$\begin{align}&(f+g)' = f'+g'\\&(x^n)'=nx^{n-1}\\&(e^x)'=e^x\\&(ln\,x)' = \frac 1x\\&\text{Aunque la regla de la raíz cuadrada se puede}\\&\text{extraer de }x^n \text{ con }n=\frac 12\text{ es mejor conocer}\\&\text{directamente la regla porque se usa mucho}\\&(\sqrt x)'= \frac{1}{2 \sqrt x}\\&\text{Y la regla de la cadena también se usa esta vez}\\&(f[g(x)])'= f'[g(x)]·g'(x)\\&\\&\\&1) f(x) = x+ln\,x\\&\\&f'(x)= (x') + (ln\,x)'=1·x^0+\frac 1x=1 + \frac 1x\\&\\&\\&\\&2) f(x) = e^x- \sqrt {x-2}\\&\\&f'(x)= (e^x)' +(- \sqrt {x-2})' =\\&\\&e^x +(-1)(\sqrt{x-2})'=\\&\\&e^x - \frac{1}{2 \sqrt{x-2}}·(x-2)'=\\&\\&e^x - \frac{1}{2 \sqrt {x-2}}·(1) =\\&\\&e^x-\frac{1}{2 \sqrt{x-2}}\end{align}$$Y así se haría con todos los pasos, aunque lo normal hubiera sido hacerlo todo en un solo paso, pero es por si tienes dudas del método.
Y eso es todo.
Sa lu dos.
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Buenas tardes.
Me puede colaborar en el ejercicio numero 2 donde me pide verificar nuevamente la derivada del radical, y me dice que se debe considerar aplicar la regla de la cadena para este caso particular.
Gracias es usted muy amable.
Precisamente si de algo peca el ejercicio es que he puesto todos los pasos, demasiados, luego yo no sé que más quiere que ponga, es imposible poner más. Si no le gusta la regla que he usado para la raíz cuadrada ponle si acaso esto, yo creo que te está vacilando.
$$\begin{align}&f(x) = e^x- \sqrt {x-2}\\&\text{Ponemos el radical en forma exponencial}\\&f(x)=e^x-(x-2)^{\frac 12}\\&\\&f'(x)= (e^x)' +(-(x-2)^{\frac 12})' =\\&\\&e^x +(-1)\left((x-2)^{\frac 12}\right)'=\\&\\&e^x-\frac 12(x-2)^{\frac 12-1}·(x-2)'=\\&\\&e^x-\frac 12(x-2)^{.\frac 12}(1-0)=\\&\\&e^x-\frac 12(x-2)^{-\frac 12}=\\&\\&\text{Y lo devolvemos a la forma que nos lo dieron}\\&\text{primero hacemos que los exponentes sean positivos}\\&\\&=e^x-\frac{1}{2(x-2)^{\frac 12}}=\\&\\&e^x - \frac {1}{2 \sqrt{x-2}}\end{align}$$El ejercicio estaba bien hecho en exceso, si el profesor tiene alguna manía yo no la conozco, si acaso tú que la conoceras adaptas el ejercicio a la forma que los hace él.
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Te agrego el 3 y 4, a las reglas que te indicó el profe, te agrego para estos ejercicios:
$$\begin{align}&\bigg(\frac{f(x)}{g(x)}\bigg)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\\&(a^x)' = a^x\cdot ln(a)\\&----\\&3)f(x) = \frac{x^4}{e^x}\\&f'(x) = \frac{4x^3e^x-x^4e^x}{(e^x)^2}= \frac{x^3e^x (4-x)}{e^{2x}}=\frac{x^3 (4-x)}{e^{x}}\\&---\\&4)f(x) = x^2\cdot 2^x\\&f'(x) = 2x\cdot 2^x + x^2 \cdot 2^x ln2=x \cdot 2^x(2+ x\cdot ln2)\end{align}$$
;)
Yo te hago el 5 y 6:
$$\begin{align}&5)\\&f'(t)=2t(t^3+t^2+1)+(t^2+1)(3t^2+2t)\\&\\&6)\\&f'(x)=\frac{3(x^3+7x-5)-3x(3x^2+7)}{(x^3+7x-5)^2}\end{align}$$;)
;)