Realizar las siguientes integrales aplicando los casos de integración

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¡H o l a   Anónimo!

Integrales de este tipo solo una por pregunta, haré la primera.

Calculamos las raíces del denominador.

$$\begin{align}&(x^2-1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x-1)=\\&(x+1)(x-1)^2\\&\\&\text {a estas raíces corresponden estas fracciones}\\&\\&\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}=\\&\\&\frac{a(x-1)^2+b(x+1)(x-1)+c(x+1)}{(x+1)(x-1)^2}\\&\\&\text{Luego se da la igualdad}\\&\\&x=a(x-1)^2+b(x+1)(x-1)+c(x+1)\\&\\&\text{Si hacemos }x=1\\&1 =c(1+1)\implies c= \frac 12\\&\\&\text{Si hacemos }x=-1\\&-1=a(-1-1)^2\implies-1=4a\implies a=-\frac 14\\&\\&\text{Si hacemos }x=0\\&0=a-b+c =-\frac 14-b+\frac 12\implies b=-\frac 14+\frac 12=\frac 14\\&\\&\text{Luego la integral será}\\&\\&I=-\frac 14\int \frac{dx}{x+1}+\frac 14\int \frac {dx}{x-1}+\frac 12\int \frac{dx}{(x-1)^2}=\\&\\&-\frac 14ln |x+1|+\frac 14 ln|x-1|-\frac 12 \frac{1}{x-1}+C=\\&\\&\frac{ln|x-1|-ln|x+1|}{4}+\frac{1}{2-2x}+C\end{align}$$

Y eso es todo.

S a l u d o s.

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