Se quiere construir un triangulo de mayor área, sabiendo que su perímetro debe ser igual a un valor p. ¿Como debe ser dicho tri?

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¡Hola José!

Primero debemos encontrar la fórmula del área de un triángulo dados los tres lados, no es una fórmula muy común, al menos yo no la recuerdo. Se llama fórmula de Herón y dice:

$$\begin{align}&A(a,b,c)= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\&\\&\text{Donde s es el semiperímetro}\\&\\&s= \frac{a+b+c}{2}=\frac p2\\&\\&\text{Y la ecuación que liga las variables es}\\&\varphi(a,b,c)=a+b+c-2s=0\\&\\&\text{Tomaremos un multiplicador de Lagrange }\lambda\\&\text{e igualaremos a 0 estas derivadas parciales}\\& A_a+\lambda \varphi_a=0\\& A_b+\lambda \varphi_b=0\\& A_c+\lambda \varphi_c=0\\&\\&\frac{-s(s-b)(s-c)}{2 \sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}}}+\lambda=0\implies\\& \lambda=\frac{s(s-b)(s-c)}{2 \sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}}}\\&\\&\\&\frac{-s(s-a)(s-c)}{2 \sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}}}+\lambda=0\implies\\&\\&\frac{-s(s-a)(s-c)}{2 \sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}}}+\frac{s(s-b)(s-c)}{2 \sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}}}=0\implies\\&\\&s(s-c)(a-s+s-b)=0\\&\\&s(s-c)(a-b)=0\\&\\&s\neq0\\&c\neq s \quad \text{ya que un lado teine que medir menos del semiperímetro}\\&\text{Luego solo queda}\\&a-b=0\\&a=b\\&\\&\frac{-s(s-a)(s-b)}{2 \sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}}}+\lambda=0\implies\\&\\&\frac{-s(s-a)(s-b)}{2 \sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}}}+\frac{s(s-b)(s-c)}{2 \sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}}}=0\implies\\&\\&s(s-b)(a-s+s-c)=0\\&s(s-b)(a-c)=0\\&s\neq 0\\&s-b\neq 0\\&a=c\\&\\&\text{luego } a=b=c\\&\\&\text{por lo tanto }\\&\\&a=b=c= \frac p3\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Era la crónica de una muerte anunciada.  Cuando tres variables juegan el mismo papel son intercambiables y no pueden tomar valores distintos en el máximo.  ¿Cual sería el motivo para que una valiera 1 y la otra 2 si son todas igual de bonitas.

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Hola José Barajas!

Construyamos el Lagrangiano:

Para el área usaremos la Fórmula de Herón, que calcula el área de un triángulo en función de los lados:x, y, z

La restricción  la pondremos como función igualada a 0(x+y+z=p   ==> x+y+z-p=0

$$\begin{align}&A= \sqrt{s(s-x)(s-y)s-z)}\\&\\&donde \\&s=semiperímetro=\frac{p}{2}\\&\\&Lagrangiano:\\&L(x,y,z)=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}-\lambda(x+y+z-p)\\&Las \ derivadas \ parciales L_x,L_y,Lz,L_{\lambda} \ han \ de \ ser \ cero:\\&\\&L_x=\frac{1}{2} \Big[s(s-x)(s-y)(s-z) \Big]^{-\frac{1}{2}}·\Big[-s(s-y)(s-z)\Big]-\lambda\\&\\&L_y=\frac{1}{2} \Big[s(s-x)(s-y)(s-z) \Big]^{-\frac{1}{2}}·\Big[-s(s-x)(s-z)\Big]-\lambda\\&\\&L_z=\frac{1}{2} \Big[s(s-x)(s-y)(s-z) \Big]^{-\frac{1}{2}}·\Big[-s(s-x)(s-y)\Big]-\lambda\\&\\&L_{\lambda}=-x-y-z+p\\&\\&L_x=0 \Rightarrow -s(s-y)(s-z)=2\lambda  \Big[s(s-x)(s-y)(s-z) \Big]^{\frac{1}{2}}\\&elevando \ al \ cuadrado:\\&s^2(s-y)^2(s-z)^2=4 \lambda^2 s(s-x)(s-y)(s-z)\\&\\&4 \lambda^2=\frac{s(s-y)(s-z)}{s-x}\\&Analogamente\\&L_y=0 \Rightarrow\\&\\&4 \lambda^2=\frac{s(s-x)(s-z)}{s-y}\\&\\&Analogamente\\&L_z=0 \Rightarrow\\&\\&4 \lambda^2=\frac{s(s-x)(s-y)}{s-z}\\&\\&Igualando \ las \ dos \ primeras:\\&\\&\frac{s(s-y)(s-z)}{s-x}= \frac{s(s-x)(s-z)}{s-y} \Rightarrow(s-y)^2=(s-x)^2 \Leftrightarrow y=x\\&\\&Igualando \ las \ dos \ últimas:\\&\frac{s(s-x)(s-z)}{s-y}=\frac{s(s-x)(s-y)}{s-z} \Rightarrow(s-z)^2=(s-y)^2 \Leftrightarrow y=z\\&\\&Sustituyendo \ en \ L_{\lambda}=0\\&-x-y-z+p=0\\&p=3x\\&x=y=z=\frac{p}{3}\end{align}$$

Luego ,como era de esperar, el triángulo de área máxima es el triángulo equilátero.

Saludos

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