Problema con la siguiente transformada de Laplace

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¡Hola Brenda!

1) Usaremos el primer teorema de traslación

$$\begin{align}&Si\:k\in \mathbb R, \;y \;\exists\; F(s)=\mathscr L\{f(t)\} \;entonces\\&\\&\mathscr L\{e^{kt}f(t)\}=F(s-k)\\&\\&\text{En este caso }\\&s=-3\\&f(t)=9-4t +10 sen\left(\frac t2  \right)\\&\\&\text{de acuerdo a las propiedades y tablas}\\&\\&F(s)=\frac 9s-\frac 4{s^2} + 10·\frac{\frac 12}{s^2+\left(\frac 12\right)^2}=\\&\\&\frac 9s-\frac 4{s^2}+ \frac {5}{s^2+\frac 14}=\frac 9s-\frac 4{s^2}+\frac{20}{4s^2+1}\\&\\&\text{luego}\\&\\&\mathscr L\left\{e^{-3t}·\left(9-4t +10 sen\left(\frac t2  \right)  \right)\right\}=\\&\\&\frac 9{s+3}-\frac 4{(s+3)^2}+\frac{20}{4(s+3)^2+1}\end{align}$$

2)

Representaremos la función con el escalón unitario y useremos el segundo teorema de desplazamiento.

$$\begin{align}&f(x) = U_\pi(x)·(-\cos x)\\&\\&\text{Y el segundo teorema dice}\\&\\&\mathscr L\{U_a(t)\;f(t)\}= e^{-as}\mathscr L \{f(t+a)\}\\&  \\& \mathscr L\{U_\pi(x)\;(-\cos x)\}= e^{-\pi s}\mathscr L\{-\cos (x+\pi)\}=\\&\\&\text{el coseno de x+180 es el opuesto del de x}\\&\\& e^{-\pi s}\mathscr L\{\cos x\}=e^{-\pi s} ·\frac{s}{s^2+1}\\&\\& \\& \end{align}$$

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¡Gracias lo juntaré con la demás teoría que tengo, solo que la teoría usa muchos símbolos que se hacen que me pierda y confunda!!