Hallar, si existen, extremos relativos en la siguientes funciones, indicar si hay asíntotas

;) 

Hola Maar!

g) es una función polinómica ===>  No tiene Asíntotas

$$\begin{align}&\lim_{x \to \pm \infty}(x-1)^3(x-3)=+ \infty\\&\\&f'(x)=3(x-1)^2(x-3)+(x-1)^3·1=factor \ común\\&\\&(x-1)^2 \Bigg[3x-9+x-1 \Bigg ]=(x-1)^2(4x-10)\\&\\&f'=0\\&x=1\\&x=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\\&\\&f''(x)=2(x-1)(4x-10)+(x-1)^2·4=factor \ común\\&\\&=(x-1) \Bigg[8x-20+4x-4 \Bigg ]=(x-1)(12x-24)\\&\\&f''(1)=0  \ No \ decide\\&\\&f'''(x)=1(12x-4)+(x-1)12\\&f'''(1)=12-4=8 \neq 0   \Rightarrow Punto \ Inflexión (1,0)\\&\\&f''(\frac{5}{2})=(\frac{5}{2}-1)(12 \frac{5}{2}-24)=(+)(+)>0 \Rightarrow mínimo\\&\\&\end{align}$$

graficando

Saludos

;)

;)

·

·

¡Hola Maar!

Yo responderé el otro.

$$\begin{align}&f(x) = x^2 - \frac 2x\\&\\&\text{derivo e igualo a 0 para encontrar los puntos críticos}\\&\\&f'(x)= 2x +\frac 2{x^2}=0\\&\\&\text{desechando x=0 que no hay derivada, puedo}\\&\text{multiplicar por }x^2\text{ que será distinto de 0}\\&\\&2x^3+2=0\\&x^3+1=0\\&x^3=-1\\&x=-1\\&\\&\text{Calculo la derivada segunda}\\&\\&f''(x)=2 - \frac{2x}{x^4}= 2-\frac{2}{x^3}\\&\\&f''(-1)= 2- \frac{2}{-1}=4\gt 0 \implies mínimo\\&\\&\text{Hay un mínimo relativo en}\\&(-1, f(-1)) = (-1,3)\end{align}$$

Respecto a las asíntotas existe una asíntota vértical en x=0, ya que para ese valor el límite se hace infinito.

$$\begin{align}&\lim_{x\to 0} \left(x^2-\frac 2x  \right)=0\pm \infty\end{align}$$

No existen asíntotas horizontales porque en el infinito (tanto positivo como negativo) el límite de la función es infinito.

$$\begin{align}&\lim_{x\to\pm \infty} \left(x^2-\frac 2x  \right)=+\infty-0=+\infty\end{align}$$

Y no existen asintotas oblicuas porque el límite de la función divivida por x es - infinito y + infinito.

$$\begin{align}&\lim_{x\to\pm \infty} \frac{\left(x^2-\frac 2x  \right)}{x}=\lim_{x\to\pm \infty} \left(x-\frac 2{x^2} \right)=\pm \infty\end{align}$$

Y la gráfica es esta:

Y eso es todo, saludos.

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