Anónimo
Como realizo el principio de superposición en ecuaciones diferenciales
¿Es posible aplicar el principio de superposición a las funciones f1 y f2?
Considerando la ecuación diferencial y´´- 3y´+ 2y=4x^2 y con funciones
f1(x)=2x^2+6x+7
f2(x)=2x^2+6x+7+e^x
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¡Hola Anónimo!
Para f1(x) tenemos
y'' - 3y' + 2y = 4 - 12x - 18 + 4x^2 + 12x + 14 = 4x^2
Para f2(x) tenemos
y'' - 3y' + 2y = 4 +e^x - 12x - 18 -3e^x + 4x^2 + 12x + 14 + 2e^x=4x^2
Ambas son soluciones de la ecuación diferencial, pero su suma multiplicada por constantes no lo será, si tomamos
g(x) =A·f1(x) + B·f2(x)
tendremos
g''(x) - 3g'(x) +2g(x) =
A[f1''(x)-3f1'(x)+2f1(x)]+B[f2''(x)-3f2'(x)+2f2(x)]=
A·4x^2 + B·4x^2 = (A+B)·4x^2
Que salvo contados casos es distinto de 4x^2
Luego g(x) no siempre será solución de la ecuación diferencial.
El principio de superposición solo sirve para las soluciones de ecuaciones diferenciales HOMOGÉNEAS, y esta no lo era.
Y eso es todo, saludos.
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