Geometría analítica plano de un rectángulo

Un rectángulo tiene uno de sus lados en la recta r. 3x-y=1; dos de sus vértices no consecutivos son los puntos A(2,5) y C(1,7); calcular los otros dos vértices

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2 Respuestas

1.055.450 pts. No es el conocimiento, sino el acto de aprendizaje, y...

;)

Hola Juana!

Sea el rectángulo ABCD

Primero comprovamos si los puntos A y C son de r.

Sustituyendo:

A=(2,5) ==> 3(2)-5=1  Si

otro lado será la perpendicular a r que pasa por C (recta s):

x+3y=k

esta recta contiene a C ==> 1+3(7)=k      k=22

s:  x+3y=22

Buscando el punto de corte de estas dos rectas tenenmos el vértice D:

3x-y=1

x+3y=22

multiplicando la primera por 3 y sumandolas:

10x+0y=25

x=2.5    ==> y=3(2.5)-1=6.5     D=(2.5,6.5)

El centro del rectángulo es el punto medio de AC:  M=(A+C)/2=(1.5, 6)

Este tambien es el punto medio de BD:

B=(x,y)

$$\begin{align}&(1.5,6)=(\frac{2.5+x}{2},\frac{6.5+y}{2})\\&igualando \ coordenadas:\\&1.5=\frac{2.5+x}{2} \Rightarrow x=0.5\\&\\&6=\frac{6.5+y}{2} \Rightarrow y=5.5\\&\\&B=(0.5,5.5)\end{align}$$

Saludos

;)

;)

5.854.025 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

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¡Hola Juana!

Veamos si esos puntos están en la recta o no, al menos uno tiene que estar fuera

3·2 - 5 = 1  este está en la recta

3·1-7 = -4   este está fuera

Trazamos las perpendiculares pasando por esos puntos.

Dada una recta

Ax+By = C

si la despejas es

y=-(A/B)x +C/B

Su vector director es (1, -A/B)

O lo que es lo mismo

(B,-A)

Y entonces el perpendicular es

(A, B)

ya que (B, -A)*(A,B) = BA-AB = 0

Luego las perpendiculares son

-Bx + Ay =D

o también

Bx - Ay = D

yo elijo la que sea de las dos siempre que la x queda con signo positivo.

Pues tras tanta teoría tenemos que las perpendiculares serán

x+3y = D

x+3y = E

para que pase por (2,5) será

2+3·5= D   ==>   D=17

perp A:  x+3y=17

y para que pase por (1,7) será

1+3·7=E  ==>  E = 22

perp C:  x+3y=22

Como C no estaba en la recta  el corte de perp B con la recta es un vértice.

x+3y=22

3x-y=1  ==> y = 3x-1

x+3(3x-1)=22

x+9x-3=22

10x=25

x=5/2

y=3(5/2)-1= 15/2 -1 = 13/2

Luego un vértice es (5/2, 13/2)

Y para el otro vértice calcularemos la paralela pasando por C

La paralela tiene los mismos coeficientes A y B.

3x-y = F

para que pase por C

3·1-7 = F  ==> F=-4

par C:  3x-y = -4

Y el vértice es la intersección par C con perp A

3x-y=-4

x+3y=17

despejando y en la primera

y = 3x+4

y sustituyendo en la segunda

x+3(3x+4)=17

x + 9x +12 = 17

10x=5

x=1/2

y=3/2+4 = 11/2

Y el otro vértice es (1/2, 11/2)

Bastante largo, puede que hayan estudiado proyecciones de vectores y es más corto de esa forma pero para más expertos.

Y ante semejantes cuentas hay que comprobarlo pues es fácil equivocarse.

Vale, está bien.

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