Geometría analítica en plano para formar un triángulo entre tres pubtos

Calcula valor de m para que los puntos A(1,5), B(-1,7), C(m,-1) formen un ángulo BAC de 120 grados

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2 Respuestas

1.055.775 pts. No es el conocimiento, sino el acto de aprendizaje, y...

;)

Hola juana!

Si pone el ángulo BAC, quiere decir el ángulo en el vértice A.

Calcularemos los vectores AB y AC y aplicaremos la fórmula del producto escalar.

$$\begin{align}&\vec{u}·\vec{v}=| \vec{u}·| \vec{v}|\cos \alpha\\&\\&\vec{AB}=B-A=(-1,7)-(1,5)=(-2,2) \Rightarrow | \vec{AB}|= \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt 8 =2  \sqrt 2\\&\\&\vec{AC}=C-A=(m,-1)-(1,5)=(m-1,-6) \Rightarrow | \vec{AC} |= \sqrt{(m-1)^2+36}\\&\\&\vec{AB}·\vec {AC}=(-2,2)·(m-1,-6)=-2m+2-12=-2m-10\\&\vec{AB}·\vec {AC}=2 \sqrt 2·\sqrt{(m-1)^2+36}·cos120º=2 \sqrt 2 \sqrt{(m-1)^2+36}·(\frac{-1}{2})=\\&=- \sqrt 2 \sqrt{(m-1)^2+36}\\&\\&Igualando:\\&-2m-10=- \sqrt 2 \sqrt{(m-1)^2+36}\\&2m+10=  \sqrt 2 \sqrt{(m-1)^2+36}\\&Elevando \ al \ cuadrado:\\&(2m+10)^2=2 [(m-1)^2+36 ]\\&4m^2+40m+100=2(m^2-2m+37)\\&2m^2+44 m+26=0\\&\\&simplificando\\&m^2+22m+13=0\\&\\&m=\frac{-22 \pm \sqrt{432}}{2}=\frac{-22 \pm12 \sqrt 3}{2}=-11\pm 6 \sqrt 3\\&\end{align}$$

Saludos

Recuerda puntuar todas las preguntas

;)

;)

5.854.275 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

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¡Hola Juana!

Calcularemos los vectores AB y AC

AB= (-1, 7) - (1, 5) = (-2, 2)

AC = (m, -1) - (1, 5) = (m-1, -6)

Ahora sabemos que el coseno del ángulo que forman es

$$\begin{align}&\cos \alpha=\frac{u·v}{|u||v|}\\&\\&\cos 120º=\frac{\vec{AB}·\vec{AC}}{|\vec {AB}|·|\vec{AC}|}\\&\\&-\frac 12=\frac{(-2,2)·(m-1,-6)}{\sqrt{(-2)^2+2^2}\;\sqrt{(m-1)^2+6^2}}=\\&\\&\frac{-2m+2-12}{\sqrt 8 \sqrt{(m-1)^2+36}}\\&\\&-2\sqrt 2 \sqrt{(m-1)^2+36}= 2(-2m-10)\\&\\&\sqrt 2 \sqrt{(m-1)^2+36}= 2m+10\\&\\&\text{elevamos al cuadrado}\\&\\&2(m-1)^2+72 = 4m^2+40m+100\\&\\&2m^2-4m+2+72 = 4m^2+40m+100\\&\\&2m^2+44m+26=0\\&\\&m^2 +22m + 13=0\\&\\&m=\frac{-22\pm \sqrt{22^2-52}}{2}=\frac{-22\pm \sqrt {432}}{2}=\\&\\&-11\pm 6 \sqrt 3\end{align}$$

Y ahora viene cuando la peinan, solo una de las dos respuestas vale, la otra se ha introducido por elevar al cuadrado.  Reconoceremos la válida por que la falsa no cumple la ecuación previa a la elevación al cuadrado que era:

$$\begin{align}&\sqrt 2 \sqrt{(m-1)^2+36}= 2m+10\\&\\&\text{No me voy a morir probando con los radicales}\\&\text{usaré la calculadora y la expresión decimal}\\&\\&\text{Para}\\&m=-11+ 6 \sqrt 3\approx-0.6076951546\\&8.784609691=8.784609691\\&\\&\text{para }\\&m=-11- 6 \sqrt 3\approx -21.39230484\\&32.78460969 \neq-32.78460969\\&\\&\text{Luego la respuesta es:}\\&m=-11+ 6 \sqrt 3\end{align}$$

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