Progresiones aritméticas le agradezco el apoyo con estos dos ejercicios

¿Cuántos términos hay en una progresión aritmética con un sexto término igual a -3, una diferencia común de 0.2 y una suma de -33?

 Cuantos términos forman una progresión geométrica donde t1 = 3/2,  u = 48, y r = 27

n = 1 +  [log (u / t1) / log ( r ) ]m

Muchas gracias por su apoyo y por su tiempo.

De antemano les agradezco

2

2 respuestas

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;)
Hola Melina!

1.-

Es una progresión aritmética. Recuerda las dos fórmulas que debes saberde estas progresiones:

Término General:

$$\begin{align}&a_n=a_1+(n-1)d\\&\\&\end{align}$$

suma de n términos:

$$\begin{align}&S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\end{align}$$

que con los datos que tenemos:

$$\begin{align}&a_6=a_1+5d\\&-3=a_1+5(0.2)\\&-3=a_1+1\\&a_1=-3-1=-4\\&\\&S_n=-33=\frac{(-4+a_n)n}{2}\\&\Rightarrow\\&-66=[-4+a_1+(n-1)d]n\\&\\&-66=[-4-4+(n-1)0.2]n\\&\\&-66=(-8+0.2n-0.2)n\\&\\&-66=(-8.2+0.2n)n\\&\\&-66=-8.2n+0.2n^2\\&Ecuacion \  2º \ grado:\\&0.2n^2-8.2n+66=0\\&\\&Multiplicandola \ por \ 10:\\&2n^2-82n+660=0\\&Simplificándola  \ por \ 2:\\&n^2-41n+330=0\\&\\&n=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{41 \pm \sqrt {41^2-4·330}}{2}=\\&\\&\frac{41 \pm \sqrt {361}}{2}=\\&\\&n=\frac{41+19}{2}=30\\&o \ bien\\&\\&n=\frac{41-19}{2}=11\\&\end{align}$$

En el 2º  no sé que es  m.

Mira a ver si te lo has dejado

Saludos

;)

;)

Respuesta

·

·

¡Hola Melina!

¿Cuántos términos hay en una progresión aritmética con un sexto término igual a -3, una diferencia común de 0.2 y una suma de -33?

Tenemos estas fórmulas.

$$\begin{align}&a_n=a_1+(n-1)d\\&\\&s_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\\&\\&\text{En este ejercicio:}\\&a_6=-3\\&d=0.2\\&s_6=-33\\&\\&\text{Sustituyendo en la primera}\\&\\&a_6=a_1+(6-1)0.2=-3\\&\\&a_1+5·0.2=-3\\&\\&a_1+1=-3\\&\\&a_1=-4\\&\\&\text{Y ahora vamos a la segunda}\\&\\&s_n=\frac{n(-4+a_n)}{2}= -33\\&\\&\text{Sustituimos }a_n\\&\\&\frac{n[-4+a_1+(n-1)0.2]}{2}= -33\\&\\&a_1\text{ ya estaba calculado}\\&\\&\frac{n[-4-4+(n-1)0.2]}{2}= -33\\&\\&n(-8+0.2n-0.2)=-2·33\\&\\&n(-8.2+0.2n) =- 66\\&\\&0.2n^2-8.2n+66=0\\&\\&n=\frac{8.2\pm \sqrt{8.2^2-4·0.2·66}}{2·0.2}=\\&\\&\\&\frac{8.2\pm \sqrt {14.44}}{0.4}=\frac{8.2\pm 3.8}{0.4}=\\&\\&30 \;y \;11\\&\\&\end{align}$$

Luego puede haber 11 o 30 términos.  La de 11 tiene todo términos negativos y la de 30 tiene más negativos pero luego tiene también positivos que hacen que la suma sea la misma que en el primera.

·

Ya hicimos uno como este otra vez y no era claro el enunciado, pero en resumen es calcular los términos desde 3/2 hasta 48 o antes, lo cual se resuelve con esta inecuación

$$\begin{align}&t_1·r^{n-1}\le u\\&\\&r^{n-1}\le \frac ut_1\\&\\&\text{extrayendo logaritmos}\\&\\&log(r^{n-1})\le log(u/t_1)\\&\\&(n-1)log \,r\le log(u/t_1)\\&\\&n-1\le \frac{log (u/t_1)}{log \,r}\\&\\&n\le 1+ \frac{log (u/t_1)}{log \,r}\\&\\&\text{la m que has puesto sobra}\\&\\&n\le1+\frac{log[48/(3/2)]}{log \,27}=\\&\\&=1+\frac{log\,32}{log\,27 }=2.0515\\&\\&Luego\\&\\&n\le 2.0515\\&\\&n=3\\&\\&comprobémoslo\\&\\&\frac 32,\quad \frac{81}{2}=40.5,\quad 1093.5\\&\\&\end{align}$$

Luego es verdad que hay dos términos antes del 48

Y eso es todo, para otra vez manda un ejercicio por pregunta, no son nada triviales.

Saludos.

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