Me pueden apoyar con estas progresiones aritméticas
1.- En una sucesión formada por los términos 12, 7, 2, -3, -8……, calcule el valor del décimo quinto término de la progresión.
2.- El Señor González adquiere una computadora en $11,000.00. Se estima que el primer año se depreciará $900.00 de su costo inicial, el segundo año se depreciará $900.00 de su valor del primer año, el tercer año $900.00 de su valor del segundo año, así sucesivamente. Calcule su valor para el octavo año.
3.- Una constructora ha determinado que para construir un edificio de 27 niveles, el primer nivel tendría un costo de $120,000.00, el segundo nivel $155,000.00, el tercer nivel $190,000.00 y así sucesivamente hasta los 27 niveles. Calcule el costo del nivel 27 y señale el costo total del edificio.
De antemano agradezco su apoyo, la verdad se me dificulta entender esta materia.
2 respuestas
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Hola Melina!
El término general de una progresión es una fórmula en función de n (1,2,3,4,...) que permite calcular un término de la progresión sabiendo el lugar que ocupa (n)
Así la sucesión de los números impares tiene como término general
$$\begin{align}&a_n=2n-1\\&\\&a_1=2(1)-1=1\\&a_2=2(2)-1=3\\&a_3=2(3)-1=5\\&\\&a_{20}=2(20)-1=39\end{align}$$a_n representan los términos de la sucesión
N indica el lugar que ocupa.
Las progresiones aritméticas se obtienen sumando un misma constante (llamada la diferencia(d)) a los sucesivos términos:
Así 2,5,8,11····· la diferéncia es 3. Para calcularla solo tienes que restar dos términos consecutivos (5-2=8-5=11-8=3)
Si la diferencia es un número negativo la progresión es decreciente:
2,-1,-4,-7········ La diferencia es -1-2=-4-1=-7-4=-3
En las progresiones aritméticas es muy facil calcular el término general:
$$\begin{align}&a_1\\&a_2=a_1+d\\&a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d\\&a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d\end{align}$$Observa que para obtener el tercer término has de sumar 2 veces la diferencia al primero.
Para obtener el cuarto (a_4) has de sumar tres veces la diferencia.
Para obtener el que ocupa el lugar n, has de sumar (n-1) veces la diferencia. Así obtenemos una fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética:
$$\begin{align}&a_n=a_1+(n-1)d\\&\\&\\&1.- \\&a_1=12\\&d=7-12=2-7=····=-5\\&\\&a_n=a_1+(n-1)d\\&a_n=12+(n-1)(-5)\\&operando\\&a_n=12-5n+5\\&a_n=17-5n \ (Término \ General)\\&a_{15}=17-5·15=-58\\&\\&2.-\\&a_1=11000\\&d=-900 \ (depreciación \ resta)\\&Término General:\\&a_n=11000+(n-1)(-900)\\&operando\\&a_n=11000-900n+900\\&a_n=11900-900n\\&\\&a_8=11900-900·8=4700\\&\\&3.-\\&d=155000-120000=35000\\&\\&a_n=120000+(n-1)35000\\&a_n=120000+35000n-35000\\&a_n=85000+35000n\\&\\&a_{27}=85000+35000·27=1030000\end{align}$$Para calcular la suma de n términos de una progresión aritmética hay una fórmula que supongo te habran explicado en clase:
$$\begin{align}&S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\\&\\&s_{27}=\frac{(120000+1030000)27}{2}=1,5525,000\end{align}$$Saludos
;)
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error escritura;
en el ejemplo de la prg. aritmética decreciente:
2, -1, -4,-7
d=-1-2=-3
d=-4-(-1)=-4+1=-3
d=-7-(-4)=-7+4=-3
;)
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Muchas Gracias Docente estoy analizando sus respuestas no por decir que estén mal al contrario, tengo muchas dudas puesto que estudio en la modalidad en línea por cuestiones económicas y es difícil contactar a mi Docente en Línea.
Gracias!
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Pues aquí puedes preguntar cuando quieras
Saludos
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¡Hola Melina!
1)
12, 7, 2
La fórmula del término general de una sucesión aritmética es:
$$\begin{align}&A_n= a_1+(n-1)d\\&\\&a_1=12\\&d=a_{n+1}-a_n\quad\\&\text{d se puede calcular con cualquier n, si es una}\\&\text{sucesión aritmética d es constante por definición}\\&d=a_2-a_1=12-7=-5\\&\\&a_{15}=12+(15-1)(-5)=12-14·5=12-70=-58\\&\\&\\&\\&2)\\&\\&\text{¡¡CUIDADO con este!!!}\\&\text{Se supone el valor al final del octavo año.}\\&\text{Si queremos usar la misma fórmula de antes,}\\&\text{el término } a_1\text{ debe ser el valor tras la primera depreciación}\\&a_1=11000-900= 10100\\&\\&a_8=10100 +(8-1)·900 = 10100-6300 = 3800\\&\\&\text{Si fuera al comienzo del 8º año sería 4700}\\&\\&\\&3) \text{ La fórmula de la suma de una sucasión aritmética es}\\&\\&s_n=a_1+a_2+...+a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\\&\\&\text{primero calculamos }a_{27}\\&\\&a_1=120000\\&d=a_2-a_1=155000-120000=35000\\&\\&a_{27}=120000+(27-1)·35000= 1030000\\&\\&\text{Y ahora usamos la fórmula de la suma}\\&\\&s_{27}=\frac{27(120000+1030000)}{2}=15525000\\&\\&\text{Esto en España y otros sitios se escribiría}\\&15.525.000\\&\text{me parece que en México y otros lugares}\\&15,525,000\end{align}$$:
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