Sean las siguientes funciones: Calcula el dominio de la función? ∘? ∘ hCalcula el dominio de la función? ∘ h ∘?

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Calculamos la composición de funciones para hallar el dominio.

Puede que haya algún método teórico con los dominios de las funciones individuales, pero con la composición de tres funciones me pierdo. Si te lo pidieran de esa forma ya lo estudiaría.

$$\begin{align}&(f\circ g \circ h)(x)= f(g[h(x)])=\\&\\&(g[h(x)])^2-6=\left(\frac 1{h(x)-2}  \right)^2-6=\\&\\&\left(\frac 1{\sqrt{x+2}-2}  \right)^2-6\\&\\&\text{Para pertenecer al dominio se deben cumplir}\\&\\&1)\quad x+2\ge0\implies x\ge-2\\&2)\quad \sqrt{x+2}-2 \neq 0\implies \sqrt{x+2}\neq2\implies\\&\qquad x+2\neq 4\implies x\neq 2\\&\\&Dom\;f\circ g\circ h =[-2,\,2)\cup(2,\,\infty)\\&\\&--\\&\\&(g\circ h\circ f)(x)=g(h[f(x)])=\\&\\&\frac{1}{h[f(x)]-2}=\frac{1}{\sqrt{f(x)+2}-2}=\\&\\&\frac{1}{\sqrt{x^2-6+2}-2}=\frac{1}{\sqrt{x^2-4}-2}\\&\\&\text{las condiciones para pertenecer al dominio son}\\&\\&1)\quad x^2-4\ge 0 \implies x^2\ge 4\implies |x| \ge 2\\&\\&2)\quad \sqrt{x^2-4}-2\neq 0\implies \sqrt{x^2-4}\neq 2\implies\\&\qquad x^2-4 \neq 4\implies x^2\neq 8 \implies x\neq \pm \sqrt 8\\&\\&\sqrt 8=2 \sqrt 2=2.82\\&\\&\text{Con todo esto el dominio es}\\&\\&Dom \;g\circ h\circ f=(-\infty,-2 \sqrt 2)\cup(2 \sqrt 2,-2]\cup[2, 2 \sqrt 2)\cup(2 \sqrt 2, \infty)\\&\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva.  No dejes de revisarlo por si me he equivocado en algún sitio.

Saludos.

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