Encuentra la ecuación diferencial asociada:
$$\begin{align}&\text{encuentra la ecuacion diferencial asociada}:\\&y''+y=senx\ donde;\ y(0)=0,y'(0)=0\end{align}$$el tema es sobre ecuaciones diferenciales maestro espero y pueda ayudarme
2 respuestas
Si es cierto tiene razón debo de suponer que es encontrar la solución de la ecuación le digo que yo tampoco le he entendido de todo al profesor
le enviare un ejercicio que nos dio para resolver este tipo de problema:
$$\begin{align}&\text{dice encontrar la ecuacion integral asociada al siguiente problema de valor inicial}:\\&y"(x)+y(x)=\cos\ x,\ donde\ y(0)=0,y'(0)=1\\&\text{esta es la supuesta solucion maestro}:\\&u(x)=y"(x)\\&\int_0^xy"(t)dt=\int_0^xu(t)dt\\&\text{de lo anterior se sigue}:\\&y'(x)-y'(0)=\int_0^xu(t)dt\\&y'(x)=1+\int_0^xu(t)dt\\&\int_0^xy'(t)dt=\int_0^xdt+\int_0^x\int_0^xu(t)dtdt\\&y(x)-y(0)=x+\int_0^x\int_0^xu(t)dtdt\\&y(x)=x+\frac{1}{(2-1)!}\int_0^x(x-t)^{2-1}u(t)dt\\&y(x)=x+\int_0^x(x-t)u(t)dt\\&\text{hasta esa parte la dejo resuelta el profesor dice que aun falta terminarla yo realmente no entendi muy bien\\&que fue lo que hiso la verdad}\end{align}$$
Yo pensaba que se podía hacer dando la vuelta a los otros, pero a lo mejor es muy complicado, haremos lo mismo que aquí, únicamente cambiaré una cosa que tiene mal el profesor hay que tener mucho cuidado con los límites de integración y la variable respecto de la que se integra, no sirve cualquier cosa.
$$\begin{align}&y''+y=sen\,x\qquad con\quad y(0)=0,\;\;y'(0)=0\\&\\&Hacemos\\&y''(x)=u(x)\\&\\&\text{cambiamos la variable a t y hacemos esta integral}\\&\\&\int_0^xy''(t)dt=\int _0^x u(t)dt\\&\\&y'(x)-y'(0) = \int_0^xu(t)dt\\&\\&\text{Como }y'(0)=0\\&\\&y'(x)=\int_0^xu(t)\,dt\\&\\&\text{volvemos a ponerlo en función de t}\\&\\&y'(t) = \int_0^t u(z)dz\\&\\&\text{e integramos respecto de t entre 0 y x}\\&\\&\int_0^x y'(t)dt =\int_0^x\int_0^tu(z)dzdt\\&\\&y(x)-y(0) =\int_0^x\int_0^tu(z)dzdt\\&\\&\text{Como }y(0)=0\\&\\&y(x) =\int_0^x\int_0^tu(z)dzdt\\&\\&\text{Y ahora viene un paso impresionante en tu texto.}\\&\text{Yo no conozco el teorema, solo puedo verificarlo.}\\&\\&\int_0^x(x-t)u(t)dt=\int_0^xx·u(t)dt-\int_0^xt·u(t)dt=\\&\\&x\int_0^xu(t)dt-\int_0^xt·u(t)dt=\\&\\&\text {integrando por partes}\\&\\&u=t\qquad\qquad du=dt\\&dv=u(t)dt\quad \;v=\int_0^tu(z)dz\\&\\&=x\int_0^xu(t)dt-\left[t·\int _0^tu(z)dz\right]_0^x+\int_0^x\int_0^tu(z)dz\,dt=\\&\\&x\int_0^xu(t)dt-x\int_0^xu(z)dz+\int_0^x\int_0^tu(z)dz\,dt=\\&\\&\int_0^x\int_0^tu(z)dz\,dt\\&\\&\text{luego queda verificado y queda}\\&\\&y(x)=\int_0^x(x-t)u(t)dt\\&\\&\text{Y vamos a la ecuación inicial}\\&\\&y''+y=sen\,x\\&\\&\text{Y sustituimos todo lo hallado}\\&\\&u(x)+\int_0^x(x-t)u(t)dt=senx\\&\\&\text{Que suelen escribir así en esta forma}\\&\\&u(x)=sen x-\int_0^x(x-t)u(t)dt\\&\\&u(x)=senx+\int_0^x(t-x)u(t)dt\\&\\&\text{esa es la forma canónica}\end{align}$$:
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;)
;)
Hola lizerd!
Es una ecuación diferencial de 2º orden con coeficientes constantes y no homogénea.
La solución general es la suma de la solución de la homogenea asociada más una solución particular.
Solución homogénea:
$$\begin{align}&y''+y=0\\&Ecuación \ característica:\\&m^2+1=0\\&m^2=-1\\&m= \pm i\\&\\&y_H=C_1cos \beta x+C_2sen \ \beta x\\&\\&\end{align}$$Solución particular:
$$\begin{align}&y_P=Axcosx+Bxsenx\\&y'_P=Acosx-Axsenx+Bsenx +Bxcosx\\&\\&y''_p=-Asenx-Asenx-Axcosx+Bcosx+Bcosx-Bxsenx=\\&=-2Asenx+2Bcosx-Axcosx-Bxsenx\\&\\&Sustituyendo \ en \ E.D:\\&y''+y=senx\\&\\&-2Asenx+2Bcosx-Axcosx-Bxsenx+Axcosx+Bxsenx=senx\\&-2Asenx+2Bcosx=senx\\&Igualando \ Coeficientes\\&-2A=1 \Rightarrow A=\frac{-1}{2}\\&B=0\\&\\&y_p=\frac{-1}{2}xcosx\\&\\&y_G=C_1cosx+C_2senx-\frac{1}{2}xcosx\\&\\&y(0)=0 \Rightarrow C_1=0\\&y'(0)=0 \Rightarrow\\&y'(x)=C_2cosx-\frac{1}{2}cosx+\frac{1}{2}xsenx\\&\\&y'(0)=0=C_2-\frac{1}{2} \Rightarrow C_2=\frac{1}{2}\\&\\&y_G=\frac{1}{2}senx-\frac{1}{2}xcosx\end{align}$$Saludos
;)
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